Cum să găsiți raza cercului circumscris unui triunghi. Cercuri înscrise și circumscrise

Cum se află raza unui cerc? Această întrebare este întotdeauna relevantă pentru școlarii care studiază planimetria. Mai jos vom analiza câteva exemple despre cum puteți face față acestei sarcini.

În funcție de condițiile problemei, puteți găsi raza cercului astfel.

Formula 1: R = L / 2π, unde L este și π este o constantă egală cu 3,141...

Formula 2: R = √(S / π), unde S este aria cercului.

Formula 1: R = B/2, unde B este ipotenuza.

Formula 2: R = M*B, unde B este ipotenuza, iar M este mediana trasată la aceasta.

Cum să găsiți raza unui cerc dacă este circumscris în jurul unui poligon regulat

Formula: R = A / (2 * sin (360/(2*n))), unde A este lungimea uneia dintre laturile figurii și n este numărul de laturi din această figură geometrică.

Cum să găsiți raza unui cerc înscris

Un cerc înscris este numit atunci când atinge toate laturile poligonului. Să ne uităm la câteva exemple.

Formula 1: R = S / (P/2), unde - S și P sunt aria și, respectiv, perimetrul figurii.

Formula 2: R = (P/2 - A) * tg (a/2), unde P este perimetrul, A este lungimea uneia dintre laturi și este unghiul opus acestei laturi.

Cum să găsiți raza unui cerc dacă acesta este înscris într-un triunghi dreptunghic

Formula 1:

Raza unui cerc care este înscris într-un romb

Un cerc poate fi înscris în orice romb, atât echilateral, cât și inegal.

Formula 1: R = 2 * H, unde H este înălțimea figurii geometrice.

Formula 2: R = S / (A*2), unde S este și A este lungimea laturii sale.

Formula 3: R = √((S * sin A)/4), unde S este aria rombului, iar sin A este sinusul unghiului ascuțit al acestei figuri geometrice.

Formula 4: R = B*G/(√(B² + G²), unde B și G sunt lungimile diagonalelor figurii geometrice.

Formula 5: R = B*sin (A/2), unde B este diagonala rombului, iar A este unghiul la vârfurile care leagă diagonala.

Raza unui cerc care este înscris într-un triunghi

Dacă în enunțul problemei vi se dau lungimile tuturor laturilor figurii, atunci calculați mai întâi (P) și apoi semiperimetrul (p):

P = A+B+C, unde A, B, C sunt lungimile laturilor figurii geometrice.

Formula 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).

Și dacă, știind toate aceleași trei laturi, vi se oferă și una, atunci puteți calcula raza necesară după cum urmează.

Formula 2: R = S * 2(A + B + C)

Formula 3: R = S/n = S / (A+B+B)/2), unde - n este semiperimetrul figurii geometrice.

Formula 4: R = (n - A) * tan (A/2), unde n este semiperimetrul triunghiului, A este una dintre laturile sale și tan (A/2) este tangenta jumătății unghiului vizavi de această parte.

Și formula de mai jos vă va ajuta să găsiți raza cercului în care este înscris

Formula 5: R = A * √3/6.

Raza unui cerc care este înscris într-un triunghi dreptunghic

Dacă problema dă lungimile catetelor, precum și ipotenuza, atunci raza cercului înscris se află astfel.

Formula 1: R = (A+B-C)/2, unde A, B sunt catete, C este ipotenuza.

În cazul în care vi se dau doar două catete, este timpul să vă amintiți teorema lui Pitagora pentru a găsi ipotenuza și a utiliza formula de mai sus.

C = √(A²+B²).

Raza unui cerc care este înscris într-un pătrat

Un cerc care este înscris într-un pătrat împarte toate cele 4 laturi exact în jumătate în punctele de contact.

Formula 1: R = A/2, unde A este lungimea laturii pătratului.

Formula 2: R = S / (P/2), unde S și P sunt aria și, respectiv, perimetrul pătratului.

Nivel de intrare

Cerc circumscris. Ghid vizual (2019)

Prima întrebare care poate apărea este: ce este descris - în jurul a ce?

Ei bine, de fapt, uneori se întâmplă în jurul oricărui lucru, dar vom vorbi despre un cerc circumscris în jurul (uneori se spune și „despre”) un triunghi. Ce este asta?

Și imaginați-vă, are loc un fapt uimitor:

De ce este acest fapt surprinzător?

Dar triunghiurile sunt diferite!

Și pentru toată lumea există un cerc care va trece prin toate cele trei vârfuri, adică cercul circumscris.

Dovada acestui fapt uimitor poate fi găsită în următoarele niveluri ale teoriei, dar aici observăm doar că dacă luăm, de exemplu, un patrulater, atunci nu pentru toată lumea va exista un cerc care trece prin cele patru vârfuri. De exemplu, un paralelogram este un patrulater excelent, dar nu există niciun cerc care să treacă prin toate cele patru vârfuri ale sale!

Și există doar pentru un dreptunghi:

Poftim, și fiecare triunghi are întotdeauna propriul său cerc circumscris!Și chiar este întotdeauna destul de ușor să găsești centrul acestui cerc.

Știi ce este bisectoare perpendiculară?

Acum să vedem ce se întâmplă dacă luăm în considerare până la trei bisectoare perpendiculare pe laturile triunghiului.

Se dovedește (și tocmai asta trebuie dovedit, deși nu vom face) că toate cele trei perpendiculare se intersectează într-un punct. Priviți imaginea - toate cele trei bisectoare perpendiculare se intersectează într-un punct.

Crezi că centrul cercului circumscris se află întotdeauna în interiorul triunghiului? Imaginați-vă - nu întotdeauna!

Dar dacă unghi ascuțit, apoi - în interior:

Ce să faci cu un triunghi dreptunghic?

Și cu un bonus suplimentar:

Întrucât vorbim despre raza cercului circumscris: cu ce este egală pentru un triunghi arbitrar? Și există un răspuns la această întrebare: așa-numitul .

Anume:

Și, desigur,

1. Existența și centrul circumcercului

Aici apare întrebarea: există un astfel de cerc pentru fiecare triunghi? Se dovedește că da, pentru toată lumea. Și mai mult, vom formula acum o teoremă care răspunde și la întrebarea unde se află centrul cercului circumscris.

Uite asa:

Să fim curajoși și să demonstrăm această teoremă. Dacă ați citit deja subiectul „” și ați înțeles de ce trei bisectoare se intersectează la un moment dat, atunci vă va fi mai ușor, dar dacă nu l-ați citit, nu vă faceți griji: acum ne vom da seama.

Vom efectua demonstrația folosind conceptul de locus al punctelor (GLP).

Ei bine, de exemplu, setul de bile este „locul geometric” al obiectelor rotunde? Nu, desigur, pentru că există... pepeni rotunzi. Este un set de oameni, un „loc geometric”, care poate vorbi? Nici nu, pentru că există bebeluși care nu pot vorbi. În viață, este în general dificil să găsești un exemplu de „locație geometrică a punctelor” reală. E mai ușor în geometrie. Iată, de exemplu, exact ceea ce avem nevoie:

Aici mulțimea este bisectoarea perpendiculară, iar proprietatea „ ” este „a fi echidistant (un punct) de la capetele segmentului”.

Să verificăm? Deci, trebuie să vă asigurați de două lucruri:

Orice punct care este echidistant de capetele unui segment este situat pe bisectoarea perpendiculară pe acesta.

Să conectăm c și c. Atunci linia este mediana și înălțimea b. Aceasta înseamnă - isoscel - ne-am asigurat că orice punct situat pe bisectoarea perpendiculară este la fel de îndepărtat de puncte și.

Să luăm mijlocul și să ne conectăm și. Rezultatul este mediana. Dar, în funcție de condiție, nu numai mediana este isoscelă, ci și înălțimea, adică bisectoarea perpendiculară. Aceasta înseamnă că punctul se află exact pe bisectoarea perpendiculară.

Toate! Am verificat pe deplin faptul că Bisectoarea perpendiculară a unui segment este locul punctelor echidistante de capetele segmentului.

Toate acestea sunt bine și bune, dar am uitat de cercul circumscris? Deloc, tocmai ne-am pregătit o „trebune pentru atac”.

Luați în considerare un triunghi. Să desenăm două perpendiculare bisectoriale și, să zicem, la segmentele și. Se vor intersecta la un moment dat, pe care îl vom numi.

Acum, fii atent!

Punctul se află pe bisectoarea perpendiculară;
punctul se află pe bisectoarea perpendiculară.
Și asta înseamnă, și.

De aici decurg mai multe lucruri:

În primul rând, punctul trebuie să se afle pe a treia bisectoare perpendiculară pe segment.

Adică bisectoarea perpendiculară trebuie să treacă și ea prin punct și toate cele trei bisectoare perpendiculare se intersectează într-un punct.

În al doilea rând: dacă desenăm un cerc cu un centru într-un punct și o rază, atunci și acest cerc va trece atât prin punct, cât și prin punct, adică va fi un cerc circumspect. Aceasta înseamnă că există deja că intersecția a trei bisectoare perpendiculare este centrul cercului circumscris pentru orice triunghi.

Și ultimul lucru: despre unicitate. Este clar (aproape) că punctul poate fi obținut într-un mod unic, prin urmare cercul este unic. Ei bine, vom lăsa „aproape” pentru reflecția ta. Deci am demonstrat teorema. Puteți striga „Ura!”

Ce se întâmplă dacă problema cere „găsește raza cercului circumscris”? Sau invers, raza este dată, dar trebuie să găsești altceva? Există o formulă care relaționează raza cercului circumferitor cu celelalte elemente ale triunghiului?

Vă rugăm să rețineți: teorema sinusului spune că pentru a găsi raza cercului circumscris, aveți nevoie de o latură (orice!) și unghiul opus acesteia. Asta e tot!

3. Centrul cercului - interior sau exterior

Acum întrebarea este: poate centrul cercului circumscris să se afle în afara triunghiului?
Răspuns: pe cât posibil. Mai mult, acest lucru se întâmplă întotdeauna într-un triunghi obtuz.

Si in general:

CERCUL CIRCULAR. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

1. Cerc circumscris unui triunghi

Acesta este cercul care trece prin toate cele trei vârfuri ale acestui triunghi.

2. Existența și centrul circumcercului

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a Examenului Unificat de Stat, pentru intrarea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neapărat cu soluții, analiză detaliată și decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 rub.
Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - 499 rub.

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

Si in concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

Circumferinta - figură geometrică, cunoștință cu care apare înapoi în vârsta preșcolară. Mai târziu îi vei afla proprietățile și trăsături caracteristice. Dacă vârfurile unui poligon arbitrar se află pe un cerc și figura însăși este situată în interiorul acestuia, atunci aveți o figură geometrică înscrisă în cerc.

Conceptul de rază caracterizează distanța de la orice punct al unui cerc până la centrul acestuia. Acesta din urmă este situat la intersecția perpendicularelor pe fiecare parte a poligonului. După ce ne-am hotărât asupra terminologiei, să luăm în considerare expresiile care vor ajuta la găsirea razei pentru orice tip de poligon.

Cum să găsiți raza unui cerc circumscris - poligon regulat

Această cifră poate avea orice număr de vârfuri, dar toate laturile ei sunt egale. Pentru a afla raza unui cerc în care este plasat un poligon regulat, este suficient să cunoaștem numărul de laturi ale figurii și lungimea acestora.
R = b/2sin(180°/n),
b – lungimea laturii,
n este numărul de vârfuri (sau laturi) figurii.
Relația dată pentru cazul unui hexagon va avea următoarea formă:
R = b/2sin(180°/6) = b/2sin30°,
R = b.

Cum să găsiți circumraza unui dreptunghi

Când un patrulater este situat într-un cerc, având 2 perechi de laturi paralele și unghiuri interne de 90°, punctul de intersecție al diagonalelor poligonului va fi centrul acestuia. Folosind relația lui Pitagora, precum și proprietățile unui dreptunghi, obținem expresiile necesare pentru a găsi raza:
R = (√m 2 + l 2)/2,
R = d/2,
m, l – laturile dreptunghiului,
d este diagonala sa.

Cum să găsiți raza unui cerc circumscris - pătrat

Așezați un pătrat în cerc. Acesta din urmă este un poligon regulat cu 4 laturi. Deoarece Deoarece un pătrat este un caz special al unui dreptunghi, diagonalele sale sunt, de asemenea, împărțite în jumătate la punctul lor de intersecție.
R = (√m 2 + l 2)/2 = (√m 2 + m 2)/2 = m√2/2 = m/√2,
R = d/2,
m – latura pătratului,
d este diagonala sa.

Cum să găsiți raza unui cerc circumscris - un trapez isoscel

Dacă un trapez este plasat într-un cerc, atunci pentru a determina raza va trebui să cunoașteți lungimile laturilor sale și diagonala.
R = m*l*d/4√p(p – m)*(p – l)*(p – d),
p = (m + l + d)/2,
m, l – laturile trapezului,
d este diagonala sa.

Cum să găsiți raza unui cerc circumscris - un triunghi

Triunghiul liber

Pentru a determina raza unui cerc care descrie un triunghi, este suficient să cunoaștem dimensiunea laturilor sale.
R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k),
p = (m + l + k)/2,
m, l, k – laturile triunghiului.
Dacă lungimea laturii și măsura gradului unghiului opus acesteia sunt cunoscute, atunci raza se determină după cum urmează:
Pentru triunghiul MLK
R = m/2sinM = l/2sinL = k/2sinK,

M, L, K – unghiurile sale (vârfurile).
Având în vedere aria unei figuri, puteți calcula și raza cercului în care este plasată:
R = m*l*k/4S,
m, l, k – laturile triunghiului,
S este zona sa.

Triunghi isoscel

Dacă un triunghi este isoscel, atunci cele 2 laturi ale sale sunt egale între ele. Când descrieți o astfel de figură, raza poate fi găsită folosind următoarea relație:
R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k), dar m = l
R = m 2 /√(4m 2 – k 2),
m, k – laturile triunghiului.

Triunghi dreptunghic

Dacă unul dintre unghiurile triunghiului este drept și un cerc este circumscris figurii, atunci pentru a determina lungimea razei acestuia din urmă, va fi necesară prezența laturilor cunoscute ale triunghiului.
R = (√m 2 + l 2)/2 = k/2,
m, l – picioare,
k – ipotenuză.

Foarte des, atunci când rezolvați probleme geometrice, trebuie să efectuați acțiuni cu figuri auxiliare. De exemplu, găsirea razei unui cerc înscris sau circumscris etc. Acest articol vă va arăta cum să găsiți raza unui cerc circumscris de un triunghi. Sau, cu alte cuvinte, raza cercului în care este înscris triunghiul.

Cum să găsiți raza unui cerc circumscris unui triunghi - formulă generală

Formula generală este următoarea: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), unde R este raza cercului circumscris, p este perimetrul triunghiului împărțit la 2 (semi-perimetrul). a, b, c – laturile triunghiului.

Aflați raza circumferinței triunghiului dacă a = 3, b = 6, c = 7.

Astfel, pe baza formulei de mai sus, calculăm semiperimetrul:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Inlocuim valorile in formula si obtinem:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Răspuns: R = 126/16√5

Cum să găsiți raza unui cerc care circumscrie un triunghi echilateral

Pentru a găsi raza unui cerc circumscris unui triunghi echilateral, există destul de multe formulă simplă: R = a/√3, unde a este mărimea laturii sale.

Exemplu: Latura unui triunghi echilateral este 5. Aflați raza cercului circumscris.

Deoarece toate laturile unui triunghi echilateral sunt egale, pentru a rezolva problema trebuie doar să introduceți valoarea acestuia în formulă. Se obține: R = 5/√3.

Răspuns: R = 5/√3.

Cum să găsiți raza unui cerc care circumscrie un triunghi dreptunghic

Formula este următoarea: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, unde a și b sunt catetele și c este ipotenuza. Dacă adăugați pătratele catetelor într-un triunghi dreptunghic, obțineți pătratul ipotenuzei. După cum se poate vedea din formulă, această expresie se află sub rădăcină. Calculând rădăcina pătratului ipotenuzei, obținem lungimea în sine. Înmulțirea expresiei rezultate cu 1/2 ne duce în cele din urmă la expresia 1/2 × c = c/2.

Exemplu: Calculați raza cercului circumscris dacă catetele triunghiului sunt 3 și 4. Înlocuiți valorile în formulă. Se obține: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

În această expresie, 5 este lungimea ipotenuzei.

Răspuns: R = 2,5.

Cum să găsiți raza unui cerc care circumscrie un triunghi isoscel

Formula este următoarea: R = a²/√(4a² – b²), unde a este lungimea coapsei triunghiului și b este lungimea bazei.

Exemplu: Calculați raza unui cerc dacă șoldul lui = 7 și baza = 8.

Rezolvare: Înlocuiți aceste valori în formulă și obțineți: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Răspunsul poate fi scris direct astfel.

Răspuns: R = 49/√132

Resurse online pentru calcularea razei unui cerc

Poate fi foarte ușor să te încurci în toate aceste formule. Prin urmare, dacă este necesar, puteți utiliza calculatoare online, care vă va ajuta în rezolvarea problemelor de găsire a razei. Principiul de funcționare al unor astfel de mini-programe este foarte simplu. Înlocuiți valoarea laterală în câmpul corespunzător și obțineți un răspuns gata făcut. Puteți alege mai multe opțiuni pentru rotunjirea răspunsului: la zecimale, sutimi, miimi etc.

Definiția 2

Un poligon care satisface condiția definiției 1 se numește circumscris unui cerc.

Figura 1. Cerc înscris

Teorema 1 (despre un cerc înscris într-un triunghi)

Teorema 1

Puteți înscrie un cerc în orice triunghi și doar unul.

Dovada.

Luați în considerare triunghiul $ABC$. Să desenăm bisectoare în el care se intersectează în punctul $O$ și să tragem perpendiculare din el pe laturile triunghiului (Fig. 2)

Figura 2. Ilustrarea teoremei 1

Existență: Să desenăm un cerc cu centrul în punctul $O$ și raza $OK.\ $Deoarece punctul $O$ se află pe trei bisectoare, este echidistant de laturile triunghiului $ABC$. Adică $OM=OK=OL$. În consecință, cercul construit trece și prin punctele $M\ și\ L$. Deoarece $OM,OK\ și\ OL$ sunt perpendiculare pe laturile triunghiului, atunci după teorema tangentei cercului, cercul construit atinge toate cele trei laturi ale triunghiului. Prin urmare, din cauza arbitrarului unui triunghi, un cerc poate fi înscris în orice triunghi.

Unicitate: Să presupunem că un alt cerc cu centrul în punctul $O"$ poate fi înscris în triunghiul $ABC$. Centrul său este echidistant de laturile triunghiului și, prin urmare, coincide cu punctul $O$ și are o rază egală cu lungime $OK$ Dar atunci acest cerc va coincide cu primul.

Teorema a fost demonstrată.

Corolarul 1: Centrul unui cerc înscris într-un triunghi se află în punctul de intersecție al bisectoarelor sale.

Iată câteva fapte legate de conceptul de cerc înscris:

Nu orice patrulater poate încadra într-un cerc.

În orice patrulater circumscris, sumele laturilor opuse sunt egale.

Dacă sumele laturilor opuse ale unui patrulater convex sunt egale, atunci poate fi înscris un cerc în el.

Definiția 3

Dacă toate vârfurile unui poligon se află pe un cerc, atunci cercul se numește circumscris poligonului (Fig. 3).

Definiția 4

Se spune că un poligon care îndeplinește condiția definiției 2 este înscris într-un cerc.

Figura 3. Cerc circumscris

Teorema 2 (despre cercul circumferitor al unui triunghi)

Teorema 2

În jurul oricărui triunghi poți descrie un cerc și doar unul.

Dovada.

Luați în considerare triunghiul $ABC$. Să desenăm bisectoare perpendiculare în el, care se intersectează în punctul $O$ și să o conectăm cu vârfurile triunghiului (Fig. 4)

Figura 4. Ilustrarea teoremei 2

Existență: Să construim un cerc cu centrul în punctul $O$ și raza $OC$. Punctul $O$ este echidistant de vârfurile triunghiului, adică $OA=OB=OC$. În consecință, cercul construit trece prin toate vârfurile unui triunghi dat, ceea ce înseamnă că este circumscris acestui triunghi.

Unicitate: Să presupunem că un alt cerc poate fi descris în jurul triunghiului $ABC$ cu centrul său în punctul $O"$. Centrul său este echidistant de vârfurile triunghiului și, prin urmare, coincide cu punctul $O$ și are o rază egală cu lungimea $OC $ Dar atunci acest cerc va coincide cu primul.

Teorema a fost demonstrată.

Corolarul 1: Centrul cercului circumscris triunghiului coincide cu punctul de intersecție al perpendicularelor sale bisectoriale.

Iată câteva fapte legate de conceptul de cerc circumscripționar:

Nu este întotdeauna posibil să descrii un cerc în jurul unui patrulater.

În orice patrulater ciclic, suma unghiurilor opuse este $(180)^0$.

Dacă suma unghiurilor opuse ale unui patrulater este $(180)^0$, atunci se poate trasa un cerc în jurul lui.

Un exemplu de problemă privind conceptele de cercuri înscrise și circumscrise

Exemplul 1

Într-un triunghi isoscel, baza este de 8 cm și latura este de 5 cm. Aflați raza cercului înscris.

Soluţie.

Luați în considerare triunghiul $ABC$. Prin corolarul 1, știm că centrul cercului se află la intersecția bisectoarelor. Să desenăm bisectoarele $AK$ și $BM$, care se intersectează în punctul $O$. Să desenăm o perpendiculară $OH$ de la punctul $O$ la latura $BC$. Să desenăm o poză:

Figura 5.

Deoarece triunghiul este isoscel, atunci $BM$ este atât mediana, cât și altitudinea. După teorema lui Pitagora $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=$3. $OM=OH=r$ -- raza necesară a cercului înscris. Deoarece $MC$ și $CH$ sunt segmente de tangente care se intersectează, atunci după teorema tangentelor care se intersectează, avem $CH=MC=4\cm$. Prin urmare, $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Din triunghiul $OHB$, conform teoremei lui Pitagora, obținem:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Răspuns:$\frac(4)(3)$.