Cum să desenezi bisectoare perpendiculare pe laturile unui triunghi. Cerc circumscris. Ghid vizual (2019)

În lecția anterioară, ne-am uitat la proprietățile bisectoarei unui unghi, ambele închise într-un triunghi și libere. Un triunghi include trei unghiuri și pentru fiecare dintre ele se păstrează proprietățile considerate ale bisectoarei.

Teorema:

Bisectoarele AA 1, BB 1, СС 1 ale triunghiului se intersectează într-un punct O (Fig. 1).

Orez. 1. Ilustrație pentru teoremă

Dovada:

Să considerăm mai întâi două bisectoare BB 1 și CC 1. Se intersectează, punctul de intersecție O există. Pentru a demonstra acest lucru, să presupunem contrariul: să nu se intersecteze bisectoarele date, caz în care sunt paralele. Atunci linia dreaptă BC este o secantă și suma unghiurilor este , aceasta contrazice faptul că în întregul triunghi suma unghiurilor este .

Deci, punctul O al intersecției a două bisectoare există. Să luăm în considerare proprietățile sale:

Punctul O se află pe bisectoarea unghiului, ceea ce înseamnă că este echidistant de laturile sale BA și BC. Dacă OK este perpendicular pe BC, OL este perpendicular pe BA, atunci lungimile acestor perpendiculare sunt egale - . De asemenea, punctul O se află pe bisectoarea unghiului și este echidistant de laturile sale CB și CA, perpendicularele OM și OK sunt egale.

Am obținut următoarele egalități:

, adică toate cele trei perpendiculare căzute din punctul O către laturile triunghiului sunt egale între ele.

Ne interesează egalitatea perpendicularelor OL și OM. Această egalitate spune că punctul O este echidistant de laturile unghiului, rezultă că se află pe bisectoarea sa AA 1.

Astfel, am demonstrat că toate cele trei bisectoare ale unui triunghi se intersectează într-un punct.

În plus, un triunghi este format din trei segmente, ceea ce înseamnă că ar trebui să luăm în considerare proprietățile unui segment individual.

Este dat segmentul AB. Orice segment are un punct de mijloc și o perpendiculară poate fi trasă prin el - să-l notăm ca p. Astfel, p este bisectoarea perpendiculară.

Orez. 2. Ilustrație pentru teoremă

Orice punct situat pe bisectoarea perpendiculară este echidistant de capetele segmentului.

Demonstrați că (Fig. 2).

Dovada:

Luați în considerare triunghiuri și . Sunt dreptunghiulare și egale, deoarece au un catete comun OM, iar catetele AO și OB sunt egale prin condiție, astfel avem două triunghiuri dreptunghiulare, egale în două catete. Rezultă că ipotenuzele triunghiurilor sunt și ele egale, adică ceea ce s-a cerut să fie demonstrat.

Teorema inversă este adevărată.

Fiecare punct echidistant de capetele unui segment se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment.

Având în vedere un segment AB, bisectoarea sa perpendiculară p și un punct M echidistant de capetele segmentului. Demonstrați că punctul M se află pe bisectoarea perpendiculară pe segment (Fig. 3).

Orez. 3. Ilustrație pentru teoremă

Dovada:

Luați în considerare un triunghi. Este isoscel, conform condiției. Luați în considerare mediana unui triunghi: punctul O este mijlocul bazei AB, OM este mediana. Conform proprietății unui triunghi isoscel, mediana trasată la baza sa este atât o altitudine, cât și o bisectoare. Rezultă că . Dar linia p este și perpendiculară pe AB. Știm că în punctul O se poate trasa o singură perpendiculară pe segmentul AB, ceea ce înseamnă că dreptele OM și p coincid, rezultă că punctul M aparține dreptei p, ceea ce trebuia să dovedim.

Direct și inversul teoremei poate fi generalizat.

Un punct se află pe bisectoarea perpendiculară a unui segment dacă și numai dacă este echidistant de capetele acestui segment.

Deci, să repetăm că există trei segmente într-un triunghi și proprietatea bisectoarei perpendiculare se aplică fiecăruia dintre ele.

Teorema:

Bisectoarele perpendiculare ale unui triunghi se intersectează într-un punct.

Se dă un triunghi. Perpendiculare pe laturile sale: P 1 pe latura BC, P 2 pe latura AC, P 3 pe latura AB.

Demonstrați că perpendicularele P 1, P 2 și P 3 se intersectează în punctul O (Fig. 4).

Orez. 4. Ilustrație pentru teoremă

Dovada:

Să considerăm două bisectoare perpendiculare P 2 și P 3, ele se intersectează, punctul de intersecție O există. Să demonstrăm acest fapt prin contradicție - să fie paralele perpendicularele P 2 și P 3. Apoi unghiul este inversat, ceea ce contrazice faptul că suma celor trei unghiuri ale unui triunghi este . Deci, există un punct O al intersecției a două dintre cele trei bisectoare perpendiculare. Proprietățile punctului O: se află pe bisectoarea perpendiculară pe latura AB, ceea ce înseamnă că este echidistant de capetele segmentului AB: . De asemenea, se află pe bisectoarea perpendiculară pe latura AC, ceea ce înseamnă . Am obținut următoarele egalități.

Există așa-numitele patru puncte remarcabile într-un triunghi: punctul de intersecție al medianelor. Punctul de intersecție al bisectoarelor, punctul de intersecție al înălțimilor și punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare. Să ne uităm la fiecare dintre ele.

Punctul de intersecție al medianelor triunghiului

Teorema 1

La intersecția medianelor unui triunghi: Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct și sunt împărțite la punctul de intersecție în raportul $2:1$ începând de la vârf.

Dovada.

Luați în considerare triunghiul $ABC$, unde $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sunt medianele sale. Deoarece medianele împart laturile în jumătate. Să luăm în considerare linia de mijloc $A_1B_1$ (Fig. 1).

Figura 1. Medianele unui triunghi

După teorema 1, $AB||A_1B_1$ și $AB=2A_1B_1$, prin urmare, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Aceasta înseamnă că triunghiurile $ABM$ și $A_1B_1M$ sunt similare conform primului criteriu de asemănare a triunghiurilor. Apoi

În mod similar, se dovedește că

Teorema a fost demonstrată.

Punct de intersecție al bisectoarelor triunghiului

Teorema 2

La intersecția bisectoarelor unui triunghi: Bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct.

Dovada.

Luați în considerare triunghiul $ABC$, unde $AM,\BP,\CK$ sunt bisectoarele sale. Fie punctul $O$ punctul de intersecție al bisectoarelor $AM\ și\BP$. Să desenăm perpendiculare din acest punct pe laturile triunghiului (Fig. 2).

Figura 2. Bisectoarele unui triunghi

Teorema 3

Fiecare punct al bisectoarei unui unghi nedezvoltat este echidistant de laturile sale.

Prin teorema 3, avem: $OX=OZ,\ OX=OY$. Prin urmare, $OY=OZ$. Aceasta înseamnă că punctul $O$ este echidistant de laturile unghiului $ACB$ și, prin urmare, se află pe bisectoarea sa $CK$.

Teorema a fost demonstrată.

Punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare ale unui triunghi

Teorema 4

Bisectoarele perpendiculare pe laturile unui triunghi se intersectează într-un punct.

Dovada.

Fie dat un triunghi $ABC$, $n,\ m,\ p$ bisectoarele sale perpendiculare. Fie punctul $O$ punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare $n\ și\ m$ (Fig. 3).

Figura 3. Bisectoare perpendiculare ale unui triunghi

Pentru a o demonstra, avem nevoie de următoarea teoremă.

Teorema 5

Fiecare punct al bisectoarei perpendiculare pe un segment este echidistant de capetele segmentului.

Prin teorema 3, avem: $OB=OC,\ OB=OA$. Prin urmare, $OA=OC$. Aceasta înseamnă că punctul $O$ este echidistant de capetele segmentului $AC$ și, prin urmare, se află pe bisectoarea sa perpendiculară $p$.

Teorema a fost demonstrată.

Punct de intersecție al altitudinilor triunghiului

Teorema 6

Altitudinile unui triunghi sau prelungirile lor se intersectează într-un punct.

Dovada.

Luați în considerare triunghiul $ABC$, unde $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ este altitudinea sa. Să tragem o linie dreaptă prin fiecare vârf al triunghiului paralel cu latura opusă vârfului. Obținem un nou triunghi $A_2B_2C_2$ (Fig. 4).

Figura 4. Înălțimile triunghiului

Deoarece $AC_2BC$ și $B_2ABC$ sunt paralelograme cu o latură comună, atunci $AC_2=AB_2$, adică punctul $A$ este punctul de mijloc al laturii $C_2B_2$. În mod similar, aflăm că punctul $B$ este punctul de mijloc al laturii $C_2A_2$, iar punctul $C$ este punctul de mijloc al laturii $A_2B_2$. Din construcție avem că $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Prin urmare, $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sunt bisectoarele perpendiculare ale triunghiului $A_2B_2C_2$. Apoi, prin teorema 4, avem că înălțimile $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ se intersectează într-un punct.

Bisectoare perpendiculară (perpendiculară mediană sau mijlocitoare) - o linie dreaptă perpendiculară pe un segment dat și care trece prin mijlocul acestuia.

Proprietăți

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2),

unde indicele indică latura pe care este trasată perpendiculara,

S

este aria triunghiului și, de asemenea, se presupune că laturile sunt legate prin inegalități

a\geqslant b\geqslant c.

p_a\geq p_b

Şi

p_c\geq p_b.

Cu alte cuvinte, cea mai mică bisectoare perpendiculară a unui triunghi aparține segmentului din mijloc.

Scrieți o recenzie despre articolul „bisectoare perpendiculară”

Note

Un fragment care caracterizează bisectoarea perpendiculară

Kutuzov, oprindu-se să mestece, se uită mirat la Wolzogen, de parcă n-ar fi înțeles ce i se spunea. Wolzogen, observând entuziasmul des alten Herrn, [bătrânul domn (german)] spuse zâmbind:
– Nu m-am considerat îndreptățit să ascund domniei tale ceea ce am văzut... Trupele sunt în dezordine completă...
-Ai vazut-o? Ai văzut?... – strigă Kutuzov încruntat, ridicându-se repede și înaintând spre Wolzogen. „Cum faci... ce îndrăznești!..”, strigă el făcând gesturi de amenințare cu mâinile tremurând și sufocându-se. - Cum îndrăznești, dragă domnule, să-mi spui asta? Nu știi nimic. Spune-i generalului Barclay de la mine că informațiile lui sunt incorecte și că mie, comandantul șef, mie, comandantul șef, știu mai bine decât el.
Wolzogen a vrut să obiecteze, dar Kutuzov l-a întrerupt.
- Inamicul este respins pe stânga și înfrânt pe flancul drept. Dacă nu ați văzut bine, dragă domnule, atunci nu vă permiteți să spuneți ceea ce nu știți. Vă rugăm să mergeți la generalul Barclay și să-i transmiteți a doua zi intenția mea absolută de a ataca inamicul”, a spus Kutuzov cu severitate. Toată lumea a tăcut și tot ce se auzea era respirația grea a bătrânului general slăbit. „Au fost respinși peste tot, pentru care îi mulțumesc lui Dumnezeu și bravei noastre armate.” Inamicul a fost învins, iar mâine îl vom alunga din pământul sfânt al Rusiei”, a spus Kutuzov, făcându-și cruce; și a plâns brusc din cauza lacrimilor care veneau. Wolzogen, ridicând din umeri și strângându-și buzele, se îndepărtă în tăcere într-o parte, întrebându-se uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [la această tiranie a bătrânului domn. (germană)]
„Da, iată-l, eroul meu”, i-a spus Kutuzov generalului plinuț, frumos, cu părul negru, care intra în movilă în acel moment. Era Raevsky, care a petrecut toată ziua în punctul principal al câmpului Borodino.
Raevski a raportat că trupele erau ferm la locul lor și că francezii nu mai îndrăzneau să atace. După ce l-a ascultat, Kutuzov a spus în franceză:
– You ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous pensionar? [Nu crezi, atunci, ca alții, că ar trebui să ne retragem?]

Teorema:

Bisectoarele AA 1, BB 1, СС 1 ale triunghiului se intersectează într-un punct O (Fig. 1).

Orez. 1. Ilustrație pentru teoremă

Dovada:

Deci, punctul O al intersecției a două bisectoare există. Să luăm în considerare proprietățile sale:

Am obținut următoarele egalități:

, adică toate cele trei perpendiculare căzute din punctul O către laturile triunghiului sunt egale între ele.

Ne interesează egalitatea perpendicularelor OL și OM. Această egalitate spune că punctul O este echidistant de laturile unghiului, rezultă că se află pe bisectoarea sa AA 1.

Astfel, am demonstrat că toate cele trei bisectoare ale unui triunghi se intersectează într-un punct.

În plus, un triunghi este format din trei segmente, ceea ce înseamnă că ar trebui să luăm în considerare proprietățile unui segment individual.

Este dat segmentul AB. Orice segment are un punct de mijloc și o perpendiculară poate fi trasă prin el - să-l notăm ca p. Astfel, p este bisectoarea perpendiculară.

Orez. 2. Ilustrație pentru teoremă

Orice punct situat pe bisectoarea perpendiculară este echidistant de capetele segmentului.

Demonstrați că (Fig. 2).

Dovada:

Teorema inversă este adevărată.

Fiecare punct echidistant de capetele unui segment se află pe bisectoarea perpendiculară pe acest segment.

Orez. 3. Ilustrație pentru teoremă

Dovada:

Teoremele directe și inverse pot fi generalizate.

Un punct se află pe bisectoarea perpendiculară a unui segment dacă și numai dacă este echidistant de capetele acestui segment.

Deci, să repetăm că există trei segmente într-un triunghi și proprietatea bisectoarei perpendiculare se aplică fiecăruia dintre ele.

Teorema:

Bisectoarele perpendiculare ale unui triunghi se intersectează într-un punct.

Se dă un triunghi. Perpendiculare pe laturile sale: P 1 pe latura BC, P 2 pe latura AC, P 3 pe latura AB.

Demonstrați că perpendicularele P 1, P 2 și P 3 se intersectează în punctul O (Fig. 4).

Orez. 4. Ilustrație pentru teoremă

Dovada:

Instrucţiuni

Desenați o linie dreaptă prin punctele de intersecție ale cercurilor. Ați obținut bisectoarea perpendiculară pe un segment dat.

Să ni se dea acum un punct și o dreaptă. Este necesar să desenați o perpendiculară din acest punct până la. Desenați un cerc cu rază (raza trebuie să fie de la un punct la o linie, astfel încât cercul să poată intersecta linia în două puncte). Acum aveți două puncte pe o linie. Aceste puncte creează un segment de linie. Construiți bisectoarea perpendiculară pe segment, capetele sunt punctele rezultate, conform algoritmului discutat mai sus. Perpendiculara trebuie să treacă prin punctul de plecare.

Construcția liniilor drepte este baza desenului tehnic. În zilele noastre acest lucru se face din ce în ce mai mult cu ajutorul editorilor grafici, care oferă designerului oportunități mari. Cu toate acestea, unele principii de construcție rămân aceleași ca în desenul clasic - folosind un creion și o riglă.

vei avea nevoie

- o coală de hârtie;
- creion;
- riglă;
- calculator cu program AutoCAD.

Instrucţiuni

Începeți cu construcția clasică. Determinați planul în care veți construi linia. Să fie acesta planul unei foi de hârtie. În funcție de condițiile problemei, aranjați. Ele pot fi arbitrare, dar este posibil să fie dat un sistem de coordonate. Plasați punctele arbitrare acolo unde vă place cel mai mult. Etichetați-le A și B. Folosiți o riglă pentru a le conecta. Conform axiomei, este întotdeauna posibil să se tragă o linie dreaptă prin două puncte și doar unul.

Desenați un sistem de coordonate. Să vi se acorde punctele A (x1; y1). Pentru a le face, trebuie să trasați numărul necesar de-a lungul axei x și să trasați o linie dreaptă paralelă cu axa y prin punctul marcat. Apoi trasați valoarea egală cu y1 de-a lungul axei corespunzătoare. Din punctul marcat, trageți o perpendiculară până când se intersectează cu. Locul intersecției lor va fi punctul A. În același mod, găsiți punctul B, ale cărui coordonate pot fi desemnate ca (x2; y2). Conectați ambele puncte.

În AutoCAD, o linie dreaptă poate fi construită folosind mai multe . Funcția „de” este de obicei instalată implicit. Găsiți fila „Acasă” în meniul de sus. Veți vedea panoul Desenare în fața dvs. Găsiți butonul cu imaginea unei linii drepte și faceți clic pe el.

AutoCAD vă permite, de asemenea, să specificați coordonatele ambelor. Tastați (_xline) în linia de comandă de mai jos. Apăsați Enter. Introduceți coordonatele primului punct și apăsați, de asemenea, enter. Determinați al doilea punct în același mod. Poate fi specificat și făcând clic cu mouse-ul, plasând cursorul în punctul dorit de pe ecran.

În AutoCAD, puteți construi o linie dreaptă nu numai după două puncte, ci și după unghiul de înclinare. Din meniul contextual Desenare, selectați Linie și apoi opțiunea Unghi. Punctul de pornire poate fi setat făcând clic cu mouse-ul sau prin , ca în metoda anterioară. Apoi setați dimensiunea unghiului și apăsați enter. În mod implicit, linia dreaptă va fi situată la unghiul dorit față de orizontală.

Video pe tema

Pe un desen complex (diagrama) perpendicularitate drept şi avion determinată de prevederile de bază: dacă o latură a unui unghi drept este paralelă avion proiectii, apoi un unghi drept este proiectat pe acest plan fara distorsiuni; dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează avion, este perpendicular pe aceasta avion.

vei avea nevoie

Creion, riglă, raportor, triunghi.

Instrucţiuni

Exemplu: trageți o perpendiculară prin punctul M către avion A desena o perpendiculară pe avion, există două linii care se intersectează în aceasta avion, și construiți o dreaptă perpendiculară pe acestea. Frontalul și orizontalul sunt alese ca aceste două linii care se intersectează. avion.

Frontal f(f₁f₂) este o linie dreaptă întinsă avionși paralel cu frontalul avion proiecţiile P₂. Aceasta înseamnă că f₂ este valoarea sa naturală și f₁ este întotdeauna paralelă cu x₁₂. Din punctul A₂, trageți h₂ paralel cu x₁₂ și obțineți punctul 1₂ pe B₂C₂.

Folosind o linie de comunicare de proiecție, punctul 1₁ la B₁C₁. Conectați-vă cu A₁ - aceasta este h₁ - valoarea naturală a orizontalei. Din punctul B₁ trageți f₁‖x₁₂, la A₁C₁ obțineți punctul 2₁. Folosind linia de conectare a proiecției, găsiți punctul 2₂ pe A₂C₂. Conectați-vă la punctul B₂ - aceasta va fi f₂ - dimensiunea naturală a frontului.

Construite orizontale naturale h₁ și frontale f₂ ale proiecțiilor perpendiculare pe avion. Din punctul M₂, trageți proiecția sa frontală a₂ la un unghi de 90