Tabel de formule pentru diferențierea funcțiilor simple și complexe. Exemple de utilizare a formulei pentru derivata unei funcții complexe. Derivată a unei funcții putere-exponențială

După pregătirea preliminară a artileriei, exemplele cu 3-4-5 cuibări de funcții vor fi mai puțin înfricoșătoare. Următoarele două exemple pot părea complicate pentru unii, dar dacă le înțelegeți (cineva va avea de suferit), atunci aproape orice altceva din calculul diferențial va părea o glumă de copil.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

După cum sa menționat deja, atunci când găsiți derivatul functie complexa, în primul rând, este necesar CorectÎNȚELEGEȚI investițiile dvs. În cazurile în care există îndoieli, vă reamintesc o tehnică utilă: luăm valoarea experimentală a lui „x”, de exemplu, și încercăm (mental sau în schiță) să înlocuim valoare datăîntr-o „expresie îngrozitoare”.

1) Mai întâi trebuie să calculăm expresia, ceea ce înseamnă că suma este cea mai profundă încorporare.

2) Apoi trebuie să calculați logaritmul:

4) Apoi cubează cosinusul:

5) La al cincilea pas diferența:

6) Și în sfârșit, funcția cea mai exterioară este rădăcina pătrată:

Formula pentru diferențierea unei funcții complexe sunt aplicate în ordine inversă, de la funcția cea mai exterioară la cea mai interioară. Noi decidem:

Pare fara erori:

1) Luați derivata lui rădăcină pătrată.

2) Luați derivata diferenței folosind regula

3) Derivata unui triplu este zero. În al doilea termen luăm derivata gradului (cubul).

4) Luați derivata cosinusului.

6) Și, în sfârșit, luăm derivata celei mai profunde încorporare.

Poate părea prea dificil, dar acesta nu este cel mai brutal exemplu. Luați, de exemplu, colecția lui Kuznetsov și veți aprecia toată frumusețea și simplitatea derivatului analizat. Am observat că le place să dea un lucru similar la un examen pentru a verifica dacă un student înțelege cum să găsească derivata unei funcții complexe sau nu înțelege.

Următorul exemplu este pe care îl puteți rezolva singur.

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Sugestie: Mai întâi aplicăm regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Este timpul să trecem la ceva mai mic și mai frumos.
Nu este neobișnuit ca un exemplu să arate produsul nu a două, ci a trei funcții. Cum să găsiți derivata produsului a trei factori?

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Mai întâi ne uităm, este posibil să transformăm produsul a trei funcții în produsul a două funcții? De exemplu, dacă am avea două polinoame în produs, atunci am putea deschide parantezele. Dar în exemplul luat în considerare, toate funcțiile sunt diferite: grad, exponent și logaritm.

În astfel de cazuri este necesar secvenţial aplica regula de diferentiere a produselor de două ori

Trucul este că prin „y” notăm produsul a două funcții: , iar cu „ve” notăm logaritmul: . De ce se poate face asta? Este cu adevărat - acesta nu este un produs al doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:

Acum rămâne să aplici regula a doua oară la paranteză:

De asemenea, puteți să vă răsuciți și să puneți ceva din paranteze, dar în acest caz este mai bine să lăsați răspunsul exact în această formă - va fi mai ușor de verificat.

Exemplul luat în considerare poate fi rezolvat în al doilea mod:

Ambele soluții sunt absolut echivalente.

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă în probă se rezolvă folosind prima metodă.

Să ne uităm la exemple similare cu fracții.

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Există mai multe moduri prin care puteți merge aici:

Sau cam asa:

Dar soluția se va scrie mai compact dacă folosim mai întâi regula de diferențiere a coeficientului , luând pentru întregul numărător:

În principiu, exemplul este rezolvat, iar dacă este lăsat așa cum este, nu va fi o eroare. Dar, dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să verificați schița pentru a vedea dacă răspunsul poate fi simplificat?

Să reducem expresia numărătorului la un numitor comun și să scăpăm de structura cu trei etaje a fracției:

Dezavantajul simplificărilor suplimentare este că există riscul de a greși nu la găsirea derivatei, ci în timpul transformărilor școlare banale. Pe de altă parte, profesorii resping adesea sarcina și cer să „aducă în minte” derivatul.

Un exemplu mai simplu de rezolvat singur:

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Continuăm să stăpânim metodele de găsire a derivatei și acum vom lua în considerare un caz tipic când logaritmul „teribil” este propus pentru diferențiere

Funcțiile de tip complex nu se potrivesc întotdeauna cu definiția unei funcții complexe. Dacă există o funcție de forma y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, atunci nu poate fi considerată complexă, spre deosebire de y = sin 2 x.

Acest articol va arăta conceptul de funcție complexă și identificarea acesteia. Să lucrăm cu formule pentru găsirea derivatei cu exemple de soluții în concluzie. Utilizarea tabelului de derivate și a regulilor de diferențiere reduce semnificativ timpul pentru găsirea derivatei.

Definiții de bază

O funcție complexă este una al cărei argument este și o funcție.

Se notează astfel: f (g (x)). Avem că funcția g (x) este considerată un argument f (g (x)).

Definiția 2

Dacă există o funcție f și este o funcție cotangentă, atunci g(x) = ln x este funcția logaritmului natural. Constatăm că funcția complexă f (g (x)) va fi scrisă ca arctg(lnx). Sau o funcție f, care este o funcție ridicată la puterea a 4-a, unde g (x) = x 2 + 2 x - 3 este considerată o funcție rațională întreagă, obținem că f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Evident, g(x) poate fi complex. Din exemplul y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 este clar că valoarea lui g are rădăcina cubă a fracției. Această expresie poate fi notată ca y = f (f 1 (f 2 (x))). De unde avem că f este o funcție sinus, iar f 1 este o funcție situată sub rădăcina pătrată, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 este o funcție rațională fracțională.

Definiția 3

Gradul de cuibărit este determinat de orice număr natural și se scrie ca y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . . (f n (x)))))) .

Definiția 4

Conceptul de compoziție a funcției se referă la numărul de funcții imbricate în funcție de condițiile problemei. Pentru a rezolva, utilizați formula pentru găsirea derivatei unei funcții complexe de forma

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Exemple

Aflați derivata unei funcții complexe de forma y = (2 x + 1) 2.

Soluţie

Condiția arată că f este o funcție la pătrat, iar g(x) = 2 x + 1 este considerată o funcție liniară.

Să aplicăm formula derivată pentru o funcție complexă și să scriem:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Este necesar să găsiți derivata cu o formă originală simplificată a funcției. Primim:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

De aici avem asta

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Rezultatele au fost aceleași.

Când rezolvați probleme de acest tip, este important să înțelegeți unde va fi localizată funcția formei f și g (x).

Exemplul 2

Ar trebui să găsiți derivatele funcțiilor complexe de forma y = sin 2 x și y = sin x 2.

Soluţie

Prima notație a funcției spune că f este funcția de pătrat și g(x) este funcția sinus. Atunci obținem asta

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

A doua intrare arată că f este o funcție sinus, iar g(x) = x 2 denotă o funcție de putere. Rezultă că scriem produsul unei funcții complexe ca

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Formula pentru derivata y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . . (f n (x))))) se va scrie ca y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . ( f n (x)))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (. . . (f n (x)) )) )) · . . . fn "(x)

Exemplul 3

Aflați derivata funcției y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Soluţie

Acest exemplu arată dificultatea de a scrie și de a determina locația funcțiilor. Atunci y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) indică unde f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) este funcția sinus, funcția de ridicare la 3 grade, funcție cu logaritm și baza e, funcție arctangentă și liniară.

Din formula pentru definirea unei funcții complexe avem că

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Primim ceea ce trebuie să găsim

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ca derivată a sinusului conform tabelului de derivate, apoi f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ca derivată a unei funcții de putere, atunci f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) ca derivată logaritmică, apoi f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) ca derivată a arctangentei, apoi f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Când găsiți derivata f 4 (x) = 2 x, eliminați 2 din semnul derivatei folosind formula pentru derivata unei funcții de putere cu un exponent egal cu 1, apoi f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Combinăm rezultatele intermediare și obținem asta

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analiza unor astfel de funcții amintește de păpușile de cuib. Regulile de diferențiere nu pot fi întotdeauna aplicate explicit folosind un tabel derivat. Adesea trebuie să utilizați o formulă pentru a găsi derivate ale funcțiilor complexe.

Există unele diferențe între aspectul complex și funcțiile complexe. Cu o capacitate clară de a distinge acest lucru, găsirea derivatelor va fi deosebit de ușoară.

Exemplul 4

Este necesar să luați în considerare oferirea unui astfel de exemplu. Dacă există o funcție de forma y = t g 2 x + 3 t g x + 1, atunci poate fi considerată ca o funcție complexă de forma g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Evident, este necesar să folosiți formula pentru un derivat complex:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

O funcție de forma y = t g x 2 + 3 t g x + 1 nu este considerată complexă, deoarece are suma t g x 2, 3 t g x și 1. Totuși, t g x 2 este considerată o funcție complexă, atunci obținem o funcție de putere de forma g (x) = x 2 și f, care este o funcție tangentă. Pentru a face acest lucru, diferențiați în funcție de cantitate. Înțelegem asta

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Să trecem la găsirea derivatei unei funcții complexe (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Obținem că y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funcțiile de tip complex pot fi incluse în funcții complexe, iar funcțiile complexe însele pot fi componente ale funcțiilor de tip complex.

Exemplul 5

De exemplu, să considerăm o funcție complexă de forma y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Această funcție poate fi reprezentată ca y = f (g (x)), unde valoarea lui f este o funcție a logaritmului de bază 3, iar g (x) este considerată suma a două funcții de forma h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 și k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Evident, y = f (h (x) + k (x)).

Se consideră funcția h(x). Acesta este raportul l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 la m (x) = e x 2 + 3 3

Avem că l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) este suma a două funcții n (x) = x 2 + 7 și p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , unde p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) este o funcție complexă cu coeficient numeric 3, iar p 1 este o funcție cub, p 2 printr-o funcție cosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 printr-o funcție liniară.

Am constatat că m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) este suma a două funcții q (x) = e x 2 și r (x) = 3 3, unde q (x) = q 1 (q 2 (x)) - funcție complexă, q 1 - funcție cu exponent, q 2 (x) = x 2 - functie de putere.

Aceasta arată că h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Când treceți la o expresie de forma k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) = s (x) t (x), este clar că funcția este prezentată sub forma unui complex s (x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) cu un întreg rațional t (x) = x 2 + 1, unde s 1 este o funcție la pătrat și s 2 (x) = ln x este logaritmică cu baza e .

Rezultă că expresia va lua forma k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Atunci obținem asta

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Pe baza structurilor funcției, a devenit clar cum și ce formule trebuie utilizate pentru a simplifica expresia atunci când o diferențiază. Pentru a vă familiariza cu astfel de probleme și pentru conceptul de soluție a acestora, este necesar să trecem la punctul diferențierii unei funcții, adică găsirea derivatei acesteia.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

De când ați venit aici, probabil că ați văzut deja această formulă în manual

si fa o fata ca asta:

Prietene, nu-ți face griji! De fapt, totul este pur și simplu scandalos. Cu siguranță vei înțelege totul. O singură cerere - citiți articolul luându-ți timpul, încearcă să înțelegi fiecare pas. Am scris cât se poate de simplu și clar, dar tot trebuie să înțelegeți ideea. Și asigurați-vă că rezolvați sarcinile din articol.

Ce este o funcție complexă?

Imaginați-vă că vă mutați într-un alt apartament și, prin urmare, împachetați lucrurile în cutii mari. Să presupunem că trebuie să colectați câteva obiecte mici, de exemplu, materiale de scris la școală. Dacă doar le arunci într-o cutie imensă, se vor pierde printre altele. Pentru a evita acest lucru, le pui mai întâi, de exemplu, într-o pungă, pe care apoi o pui într-o cutie mare, după care o sigilezi. Acest proces „complex” este prezentat în diagrama de mai jos:

S-ar părea, ce legătură are matematica cu asta? Da, în ciuda faptului că o funcție complexă se formează EXACT ÎN ACELAȘI mod! Numai că „împachetăm” nu caiete și pixuri, ci \(x\), în timp ce „pachetele” și „cutiile” sunt diferite.

De exemplu, să luăm x și să-l „împachetăm” într-o funcție:

Ca rezultat, obținem, desigur, \(\cos⁡x\). Acesta este „sacul nostru de lucruri”. Acum să-l punem într-o „cutie” - împachetați-l, de exemplu, într-o funcție cubică.

Ce se va întâmpla până la urmă? Da, așa este, va exista o „pungă de lucruri într-o cutie”, adică „cosinus cu X cub”.

Designul rezultat este o funcție complexă. Diferă de unul simplu prin aceea că MAI MULTE „impacturi” (pachete) sunt aplicate unui X la rândși se dovedește a fi „funcție din funcție” - „ambalare în ambalaj”.

În cursul școlar există foarte puține tipuri de aceste „pachete”, doar patru:

Acum să „împachetăm” X mai întâi într-o funcție exponențială cu baza 7 și apoi într-o funcție trigonometrică. Primim:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Acum să „împachetăm” x de două ori în funcții trigonometrice, mai întâi în și apoi în:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Simplu, nu?

Acum scrieți singur funcțiile, unde x:
- mai întâi este „împachetat” într-un cosinus, apoi într-o funcție exponențială cu baza \(3\);
- mai întâi la puterea a cincea, iar apoi la tangentă;
- primul la logaritmul la baza \(4\) , apoi la puterea \(-2\).

Găsiți răspunsurile la această sarcină la sfârșitul articolului.

Putem „împacheta” X nu de două, ci de trei ori? Da, nicio problemă! Și de patru, și cinci și de douăzeci și cinci de ori. Iată, de exemplu, o funcție în care x este „ambalat” \(4\) ori:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Dar astfel de formule nu se vor găsi în practica școlară (elevii sunt mai norocoși - ale lor pot fi mai complicate☺).

„Despachetarea” unei funcții complexe

Priviți din nou funcția anterioară. Vă puteți da seama de secvența de „împachetare”? În ce a fost îndesat X mai întâi, în ce apoi și așa mai departe până la sfârșit. Adică, ce funcție este imbricată în care? Ia o bucată de hârtie și notează ce crezi. Puteți face acest lucru cu un lanț cu săgeți așa cum am scris mai sus sau în orice alt mod.

Acum, răspunsul corect este: mai întâi, x a fost „împachetat” în puterea \(4\)-a, apoi rezultatul a fost împachetat în sinus, acesta, la rândul său, a fost plasat în logaritmul la baza \(2\) , iar în cele din urmă toată această construcție a fost împinsă în puterea cinci.

Adică, trebuie să derulați secvența ÎN ORDINE INVERSĂ. Și iată un indiciu despre cum să o faci mai ușor: uită-te imediat la X - ar trebui să dansezi din el. Să ne uităm la câteva exemple.

De exemplu, iată următoarea funcție: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Ne uităm la X - ce se întâmplă mai întâi cu el? Luat de la el. Și atunci? Se ia tangenta rezultatului. Secvența va fi aceeași:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Un alt exemplu: \(y=\cos⁡((x^3))\). Să analizăm - mai întâi am tăiat X cub, apoi am luat cosinusul rezultatului. Aceasta înseamnă că șirul va fi: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Atentie, functia pare a fi asemanatoare cu prima (unde are poze). Dar aceasta este o funcție complet diferită: aici în cub este x (adică \(\cos⁡((x·x·x)))\), iar acolo în cub este cosinusul \(x\) ( adică \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Această diferență apare din diferite secvențe de „ambalare”.

Ultimul exemplu (cu informații importante în el): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Este clar că aici au făcut mai întâi operații aritmetice cu x, apoi au luat sinusul rezultatului: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Și acesta este un punct important: în ciuda faptului că operațiile aritmetice nu sunt funcții în sine, aici acționează și ca o modalitate de „împachetare”. Să ne adâncim puțin în această subtilitate.

După cum am spus mai sus, în funcțiile simple x este „împachetat” o dată, iar în funcțiile complexe - două sau mai multe. Mai mult, orice combinație de funcții simple (adică suma, diferența, înmulțirea sau împărțirea lor) este și o funcție simplă. De exemplu, \(x^7\) este o funcție simplă și la fel este \(ctg x\). Aceasta înseamnă că toate combinațiile lor sunt funcții simple:

\(x^7+ ctg x\) - simplu,
\(x^7· cot x\) – simplu,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – simplu etc.

Cu toate acestea, dacă se aplică încă o funcție unei astfel de combinații, aceasta va deveni o funcție complexă, deoarece vor exista două „pachete”. Vezi diagrama:

Bine, dă-i drumul acum. Scrieți secvența funcțiilor de „împachetare”:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Răspunsurile sunt din nou la sfârșitul articolului.

Funcții interne și externe

De ce trebuie să înțelegem imbricarea funcțiilor? Ce ne oferă asta? Faptul este că fără o astfel de analiză nu vom putea găsi în mod fiabil derivate ale funcțiilor discutate mai sus.

Și pentru a merge mai departe, vom avea nevoie de încă două concepte: funcții interne și externe. Acesta este un lucru foarte simplu, în plus, de fapt, le-am analizat deja mai sus: dacă ne amintim analogia de la început, atunci funcția internă este un „pachet”, iar funcția externă este o „cutie”. Aceste. ceea ce este „înfășurat” X este o funcție internă, iar ceea ce este „înfășurat” funcția internă este deja extern. Ei bine, este clar de ce - ea este afară, asta înseamnă exterior.

În acest exemplu: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funcția \(\log_2⁡x\) este internă și
- extern.

Și în aceasta: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) este intern și
- extern.

Finalizați ultima practică de analiză a funcțiilor complexe și, în sfârșit, să trecem la ceea ce am început cu toții - vom găsi derivate ale funcțiilor complexe:

Completați spațiile libere din tabel:

Derivată a unei funcții complexe

Bravo nouă, am ajuns în sfârșit la „șeful” acestui subiect - de fapt, derivatul unei funcții complexe, și mai precis, la acea formulă foarte groaznică de la începutul articolului.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Această formulă se citește astfel:

Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei functiei externe fata de o functie interna constanta si derivata functiei interne.

Și uită-te imediat la diagrama de analiză „cuvânt cu cuvânt” pentru a înțelege ce este:

Sper că termenii „derivat” și „produs” nu provoacă dificultăți. „Funcție complexă” - am rezolvat-o deja. Captura este în „derivatul unei funcții externe în raport cu o funcție internă constantă”. Ce este?

Răspuns: Aceasta este derivata obișnuită a unei funcții externe, în care doar funcția externă se modifică, iar cea internă rămâne aceeași. Încă nu este clar? Bine, hai să folosim un exemplu.

Să avem o funcție \(y=\sin⁡(x^3)\). Este clar că funcția internă aici este \(x^3\), iar cea externă
. Să găsim acum derivata exteriorului în raport cu interiorul constant.

Operația de găsire a derivatei se numește diferențiere.

Ca urmare a rezolvării problemelor de găsire a derivatelor celor mai simple (și nu foarte simple) funcții prin definirea derivatei ca limită a raportului incrementului la incrementul argumentului, a apărut un tabel de derivate și reguli de diferențiere precis definite. . Primii care au lucrat în domeniul găsirii derivatelor au fost Isaac Newton (1643-1727) și Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Prin urmare, în timpul nostru, pentru a găsi derivata oricărei funcții, nu trebuie să calculați limita menționată mai sus a raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, ci trebuie doar să utilizați tabelul de derivate și regulile de diferențiere. Următorul algoritm este potrivit pentru găsirea derivatei.

Pentru a găsi derivata, aveți nevoie de o expresie sub semnul prim descompune funcțiile simple în componenteși stabiliți ce acțiuni (produs, sumă, coeficient) aceste funcții sunt legate. În continuare, găsim derivatele funcțiilor elementare în tabelul de derivate, iar formulele pentru derivatele produsului, sumă și coeficient - în regulile de diferențiere. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere sunt date după primele două exemple.

Exemplul 1. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Din regulile de diferențiere aflăm că derivata unei sume de funcții este suma derivatelor de funcții, adică.

Din tabelul derivatelor aflăm că derivata lui „X” este egală cu unu, iar derivata sinusului este egală cu cosinus. Inlocuim aceste valori in suma derivatelor si gasim derivata ceruta de conditia problemei:

Exemplul 2. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Diferențiem ca derivată a unei sume în care al doilea termen are un factor constant poate fi scos din semnul derivatului:

Dacă încă apar întrebări despre unde provine ceva, acestea sunt de obicei clarificate după familiarizarea cu tabelul derivatelor și cu cele mai simple reguli de diferențiere. Trecem la ele chiar acum.

Tabel de derivate ale funcțiilor simple

1. Derivată a unei constante (număr). Orice număr (1, 2, 5, 200...) care se află în expresia funcției. Întotdeauna egal cu zero. Acest lucru este foarte important de reținut, deoarece este necesar foarte des
2. Derivată a variabilei independente. Cel mai adesea „X”. Întotdeauna egal cu unu. Acest lucru este, de asemenea, important de reținut pentru o lungă perioadă de timp
3. Derivată de grad. Când rezolvați probleme, trebuie să convertiți rădăcinile nepătrate în puteri.
4. Derivată a unei variabile la puterea -1
5. Derivată de rădăcină pătrată
6. Derivată de sinus
7. Derivată a cosinusului
8. Derivată a tangentei
9. Derivat de cotangente
10. Derivată de arcsinus
11. Derivatul arccosinului
12. Derivată a arctangentei
13. Derivată a cotangentei arcului
14. Derivată a logaritmului natural
15. Derivata unei functii logaritmice
16. Derivată a exponentului
17. Derivata unei functii exponentiale

Reguli de diferențiere

1. Derivată a unei sume sau diferențe
2. Derivat al produsului
2a. Derivată a unei expresii înmulțită cu un factor constant
3. Derivată a coeficientului
4. Derivata unei functii complexe

Regula 1.Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci funcțiile sunt diferențiabile în același punct

şi

aceste. derivata unei sume algebrice de funcții este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții.

Consecinţă. Dacă două funcții diferențiabile diferă printr-un termen constant, atunci derivatele lor sunt egale, adică

Regula 2.Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci produsul lor este diferențiabil în același punct

şi

aceste. Derivata produsului a două funcții este egală cu suma produselor fiecăreia dintre aceste funcții și derivata celeilalte.

Corolarul 1. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei:

Corolarul 2. Derivata produsului mai multor functii diferentiabile este egala cu suma produselor derivatei fiecarui factor si a tuturor celorlalti.

De exemplu, pentru trei multiplicatori:

Regula 3.Dacă funcţiile

diferentiabil la un moment dat Şi , atunci în acest moment și coeficientul lor este diferențiabilu/v și

aceste. derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorului, iar numitorul este pătratul fostul numărător.

Unde să cauți lucruri pe alte pagini

La găsirea derivatei unui produs și a unui coeficient în probleme reale, este întotdeauna necesar să se aplice mai multe reguli de diferențiere simultan, așa că există mai multe exemple despre aceste derivate în articol„Derivată a produsului și coeficientul de funcții”.

Comentariu. Nu trebuie să confundați o constantă (adică un număr) ca termen dintr-o sumă și ca factor constant! În cazul unui termen, derivata acestuia este egală cu zero, iar în cazul unui factor constant, se scoate din semnul derivatelor. Acest greseala tipica, care are loc în stadiul inițial de studiere a derivatelor, dar pe măsură ce studentul obișnuit rezolvă mai multe exemple cu una și două părți, nu mai face această greșeală.

Și dacă, la diferențierea unui produs sau coeficient, ai un termen u"v, în care u- un număr, de exemplu, 2 sau 5, adică o constantă, atunci derivata acestui număr va fi egală cu zero și, prin urmare, întregul termen va fi egal cu zero (acest caz este discutat în exemplul 10).

Alte greseala comuna- rezolvarea mecanică a derivatei unei funcţii complexe ca derivată a unei funcţii simple. De aceea derivata unei functii complexe este dedicat un articol separat. Dar mai întâi vom învăța să găsim derivate ale funcțiilor simple.

Pe parcurs, nu te poți descurca fără transformarea expresiilor. Pentru a face acest lucru, poate fi necesar să deschideți manualul în ferestre noi. Acțiuni cu puteri și rădăciniŞi Operații cu fracții .

Dacă căutați soluții la derivatele fracțiilor cu puteri și rădăcini, adică atunci când funcția arată ca , apoi urmați lecția „Derivată de sume de fracții cu puteri și rădăcini”.

Dacă aveți o sarcină ca , apoi veți lua lecția „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple”.

Exemple pas cu pas - cum să găsiți derivatul

Exemplul 3. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Definim părțile expresiei funcției: întreaga expresie reprezintă un produs, iar factorii săi sunt sume, în al doilea dintre care unul dintre termeni conține un factor constant. Aplicam regula de diferentiere a produsului: derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii prin derivata celeilalte:

În continuare, aplicăm regula diferențierii sumei: derivata unei sume algebrice de funcții este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții. În cazul nostru, în fiecare sumă al doilea termen are semnul minus. În fiecare sumă vedem atât o variabilă independentă, a cărei derivată este egală cu unu, cât și o constantă (număr), a cărei derivată este egală cu zero. Deci, „X” se transformă în unu, iar minus 5 se transformă în zero. În a doua expresie, „x” este înmulțit cu 2, așa că înmulțim doi cu aceeași unitate ca și derivata lui „x”. Obținem următoarele valori derivate:

Inlocuim derivatele gasite in suma produselor si obtinem derivata intregii functii ceruta de conditia problemei:

Și puteți verifica soluția problemei derivate pe.

Exemplul 4. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Ni se cere să găsim derivata coeficientului. Aplicăm formula de diferențiere a câtului: derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorul, iar numitorul este pătratul fostului numărător. Primim:

Am găsit deja derivata factorilor din numărător în exemplul 2. De asemenea, să nu uităm că produsul, care este al doilea factor la numărător în exemplul curent, este luat cu semnul minus:

Dacă căutați soluții la probleme în care trebuie să găsiți derivata unei funcții, unde există o grămadă continuă de rădăcini și puteri, cum ar fi, de exemplu, , atunci bun venit la curs „Derivată a sumelor fracțiilor cu puteri și rădăcini” .

Dacă trebuie să aflați mai multe despre derivatele sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și altor funcții trigonometrice, adică atunci când funcția arată ca , apoi o lecție pentru tine „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple” .

Exemplul 5. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție vedem un produs, unul dintre factorii căruia este rădăcina pătrată a variabilei independente, a cărei derivată ne-am familiarizat în tabelul de derivate. Folosind regula de diferențiere a produsului și a valorii tabelare a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Puteți verifica soluția problemei derivate la calculator de derivate online .

Exemplul 6. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție vedem un coeficient al cărui dividend este rădăcina pătrată a variabilei independente. Folosind regula de diferențiere a coeficientilor, pe care am repetat-o ​​și aplicată în exemplul 4, și valoarea tabelată a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Pentru a scăpa de o fracție din numărător, înmulțiți numărătorul și numitorul cu .

Nu este în întregime corect să numiți funcții de tip complex termenul „funcție complexă”. De exemplu, pare foarte impresionant, dar această funcție nu este complicată, spre deosebire de.

În acest articol, vom înțelege conceptul de funcție complexă, vom învăța cum să o identificăm ca parte a funcțiilor elementare, vom oferi o formulă pentru găsirea derivatei sale și vom analiza în detaliu soluția exemplelor tipice.

Când rezolvăm exemple, vom folosi constant tabelul de derivate și regulile de diferențiere, așa că păstrați-le în fața ochilor.

Funcție complexă este o funcție al cărei argument este și o funcție.

Din punctul nostru de vedere, această definiție este cea mai de înțeles. În mod convențional, poate fi notat ca f(g(x)). Adică, g(x) este ca un argument al funcției f(g(x)) .

De exemplu, fie f funcția arctangentă și g(x) = lnx funcția logaritmului natural, atunci funcția complexă f(g(x)) este arctan(lnx) . Un alt exemplu: f este funcția de ridicare la puterea a patra și este o întreagă funcție rațională (vezi ), atunci .

La rândul său, g(x) poate fi și o funcție complexă. De exemplu, . În mod convențional, o astfel de expresie poate fi desemnată ca . Aici f este funcția sinus, este funcția rădăcină pătrată, - funcţie raţională fracţională. Este logic să presupunem că gradul de imbricare al funcțiilor poate fi orice număr natural finit.

Puteți auzi adesea o funcție complexă numită alcatuirea functiilor.

Formula pentru găsirea derivatei unei funcții complexe.

Exemplu.

Aflați derivata unei funcții complexe.

Soluţie.

În acest exemplu, f este funcția de pătrat și g(x) = 2x+1 este funcția liniară.

Iată soluția detaliată folosind formula derivată a funcției complexe:

Să găsim această derivată simplificând mai întâi forma funcției originale.

Prin urmare,

După cum puteți vedea, rezultatele sunt aceleași.

Încercați să nu confundați care funcție este f și care este g(x) .

Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu pentru a vă arăta atenția.

Exemplu.

Găsiți derivate ale funcțiilor complexe și .

Soluţie.

În primul caz, f este funcția de pătrat și g(x) este funcția sinus, deci
.

În al doilea caz, f este o funcție sinus și este o funcție de putere. Prin urmare, prin formula pentru produsul unei funcții complexe avem

Formula derivată pentru o funcție are forma

Exemplu.

Funcția de diferențiere .

Soluţie.

În acest exemplu, funcția complexă poate fi scrisă în mod convențional ca , unde este funcția sinus, a treia funcție de putere, funcția de bază e logaritm, funcția arctangentă și, respectiv, funcția liniară.

Conform formulei pentru derivata unei funcții complexe

Acum găsim

Să adunăm rezultatele intermediare obținute:

Nu este nimic înfricoșător, analizează funcții complexe precum păpușile de cuib.

Acesta ar putea fi sfârșitul articolului, dacă nu pentru un singur lucru...

Este recomandabil să înțelegeți clar când să aplicați regulile de diferențiere și tabelul derivatelor și când să aplicați formula pentru derivata unei funcții complexe.

FIȚI EXTREM DE ATENȚIE ACUM. Vom vorbi despre diferența dintre funcțiile complexe și funcțiile complexe. Succesul dvs. în găsirea derivatelor va depinde de cât de mult vedeți această diferență.

Să începem cu exemple simple. Funcţie poate fi considerat complex: g(x) = tgx, . Prin urmare, puteți aplica imediat formula pentru derivata unei funcții complexe

Și aici este funcția Nu mai poate fi numit complex.

Această funcție este suma a trei funcții, 3tgx și 1. Deși - este o funcție complexă: - o funcție de putere (parabolă pătratică), iar f este o funcție tangentă. Prin urmare, mai întâi aplicăm formula de diferențiere a sumei:

Rămâne de găsit derivata funcției complexe:

De aceea .

Sperăm că înțelegeți esențialul.

Dacă privim mai larg, se poate argumenta că funcțiile de tip complex pot face parte din funcții complexe, iar funcțiile complexe pot fi componente ale funcțiilor de tip complex.

De exemplu, să analizăm funcția în părțile sale componente .

În primul rând, aceasta este o funcție complexă care poate fi reprezentată ca , unde f este funcția logaritmică de bază 3 și g(x) este suma a două funcții Şi . adica .

În al doilea rând, să ne ocupăm de funcția h(x) . Reprezintă o relație cu .

Aceasta este suma a două funcții și , Unde - o funcție complexă cu un coeficient numeric de 3. - funcţie cub, - funcţie cosinus, - funcţie liniară.

Aceasta este suma a două funcții și , unde - funcţie complexă, - funcţie exponenţială, - funcţie de putere.

Astfel, .

În al treilea rând, mergeți la , care este produsul unei funcții complexe și întreaga funcție rațională

Funcția de pătrat este funcția de logaritm la baza e.

Prin urmare, .

Să rezumăm:

Acum structura funcției este clară și a devenit clar ce formule și în ce secvență să se aplice la diferențierea acesteia.

În secțiunea despre diferențierea unei funcții (găsirea derivatei) vă puteți familiariza cu soluția la probleme similare.