Triunghiul egiptean și inversul teoremei lui Pitagora

Construcția folosind triunghiul egiptean este o metodă străveche care este încă folosită activ de constructorii moderni. Și-a primit numele datorită clădirilor egiptene antice, deși se știe că istoria sa începe cu mult înainte de această perioadă.

Dar, cel mai probabil, proprietățile figurii unice nu au fost apreciate în acele zile până la apariția lui Pitagora, care a putut să analizeze și să evalueze formele grațioase ale figurii.

Triunghiul egiptean este cunoscut din cele mai vechi timpuri. A fost și rămâne popular în construcții și arhitectură de multe secole.

Se crede că marele matematician grec Pitagora din Samos a creat structura geometrică. Datorită lui, astăzi putem folosi toate proprietățile construcției geometrice în domeniul structurii.

Nașterea unei idei

Matematicianul a primit ideea după ce a călătorit în Africa la cererea lui Thales, care i-a pus sarcina lui Pitagora să studieze matematica și astronomia acelor locuri. În Egipt, printre deșertul nesfârșit, a întâlnit clădiri maiestuoase care l-au uimit prin mărimea, grația și frumusețea lor.

Trebuie remarcat faptul că acum mai bine de două mii și jumătate de ani piramidele erau oarecum diferite - uriașe, cu margini clare. După ce a studiat cu atenție clădirile puternice, dintre care erau destul de multe, deoarece lângă uriași erau temple mai mici construite pentru copiii, soțiile și alte rude ale faraonului, acest lucru i-a dat o idee.

Datorită abilităților sale matematice, Pitagora a reușit să determine modelul în formele piramidei, iar capacitatea sa de a analiza și de a trage concluzii a dus la crearea uneia dintre cele mai semnificative teorii din istoria geometriei.

Din istorie

Știau ei despre geometrie și matematică în Egiptul antic? Desigur că da. Viața egiptenilor era strâns legată de știință. Ei și-au folosit în mod regulat cunoștințele atunci când marcau câmpuri și creează capodopere arhitecturale. Exista chiar și un serviciu de geodezi care aplicau reguli geometrice la refacerea limitelor.

Triunghiul și-a primit numele datorită elenilor, care au vizitat adesea Egiptul în secolele VII-V. î.Hr Se crede că prototipul figurii a fost Piramida lui Keops, caracterizat prin proporții perfecte. Locul ei în istorie este deosebit. Dacă te uiți la secțiunea transversală, poți vedea două triunghiuri, al căror unghi intern este de 51 aproximativ 50’.

Structura

Sarcina este mult mai ușoară dacă utilizați un raportor sau un triunghi. Dar, anterior, se foloseau doar snururi și frânghii, împărțite în segmente. Datorită semnelor de pe frânghie, a fost posibilă recrearea cu precizie a unei figuri dreptunghiulare. Constructorii au înlocuit raportorul și pătratul cu o frânghie, pentru care au marcat 12 părți cu noduri și au pliat un triunghi cu segmente 3,4,5. Un unghi drept a fost obținut fără dificultate. Aceste cunoștințe au ajutat la crearea multor structuri, inclusiv piramidele.

Este interesant că înainte de Egiptul antic, au construit în acest fel în China, Babilon și Mesopotamia.

Proprietățile figurii triunghiulare egiptene se supun adevărului - pătratul ipotenuzei este egal cu pătratele celor două catete. Această teoremă a lui Pitagora este familiară tuturor de la școală. De exemplu, înmulțim 5x5 și obținem o ipotenuză egală cu numărul 25. Pătratele ambelor laturi sunt 16 și 9, ceea ce înseamnă 25.

Datorită acestor proprietăți, triunghiul și-a găsit aplicație în construcții. Puteți lua orice parte pentru a desena o linie dreaptă cu condiția ca lungimea acesteia să fie un multiplu de cinci. După aceasta, observați o margine și trageți din ea o linie care este multiplu de patru și din cealaltă o linie care este multiplu de trei. În acest caz, fiecare segment trebuie să aibă cel puțin patru și trei lungime. Intersectându-se, ele formează un unghi drept de 90 de grade. Alte unghiuri sunt 53,13 și 36,87 grade.

Ce alternative există?

Cum se creează un unghi drept

Cea mai bună opțiune face un unghi drept este utilizarea unui pătrat sau raportor. Acest lucru vă va permite să găsiți proporțiile necesare cu un cost minim. Dar, punctul principal al triunghiului egiptean este versatilitatea sa datorită capacității de a crea o figură fără a avea nimic la îndemână.

Orice poate fi util în această chestiune, chiar și publicațiile tipărite. Orice carte sau chiar revistă are întotdeauna un raport de aspect care formează un unghi drept. Presele de tipar funcționează întotdeauna cu precizie, astfel încât rola introdusă în mașină să fie tăiată în unghiuri proporționale.

Inginerii antici au venit cu multe moduri de a construi triunghiul egiptean și au economisit întotdeauna resurse.

Prin urmare, cea mai simplă și cea mai utilizată metodă a fost metoda de construire a unei figuri geometrice folosind o frânghie obișnuită. Snurul a fost luat și tăiat în 12 bucăți egale, din care a fost așezată o figură cu proporții de 3,4 și 5.

Cum se creează alte unghiuri?

Triunghiul egiptean nu poate fi subestimat în lumea construcțiilor. Proprietățile sale sunt cu siguranță utile, dar fără capacitatea de a construi unghiuri de un grad diferit în construcție este imposibil. Pentru a forma un unghi de 45 de grade, veți avea nevoie de un cadru sau baghetă, care este tăiată la un unghi de 45 de grade și conectată între ele.

Important! Pentru a obține panta necesară, va trebui să împrumutați o coală de hârtie de la ediție tipărităși îndoiți-l. Liniile de îndoire vor trece prin colț. Marginile trebuie conectate.

Puteți obține 60 de grade folosind două triunghiuri de 30 de grade. Cel mai adesea folosit pentru a crea elemente decorative.

Mici trucuri

Triunghiul egiptean 3x4x5 este relevant pentru casele mici. Dar dacă casa are 12x15?

Pentru a face acest lucru, trebuie să construiți un triunghi dreptunghic ale cărui catete sunt egale cu 12 și 15 m Ipotenuza se găsește ca rădăcină pătrată din suma 12x12 și 15x15. Ca rezultat, obținem 19,2 m Folosind ceva - sfoară, sfoară, cablu, cablu militar, măsurăm 12, 15 și 19,2 m. Facem noduri în aceste locuri.

Apoi trebuie să întindeți triunghiul în locul potrivit și să instalați 3 puncte de sprijin în care să introduceți cuiele. Al patrulea punct poate fi obținut fără a atinge capetele picioarelor. Pentru a face acest lucru, punctul unghiului drept este aruncat în diagonală și totul este gata.

De exemplu, există o zonă în care este necesar un unghi drept - pentru spațiu pentru o unitate de bucătărie, aspectul faianței și alte aspecte. Ar fi bine să țineți cont de astfel de probleme atunci când așezați, dar realitatea este diferită și nu întotdeauna întâlniți pereți netezi și unghiuri drepte. Triunghiul egiptean cu un raport de 3:4:5 sau, dacă este necesar, 1.5:2:2.5, este util aici.

Trebuie luate în considerare grosimea balizelor, erorile, denivelările pe pereți etc. Triunghiul este desenat folosind o bandă de măsurare și cretă. Dacă marcajele sunt mici, atunci puteți folosi o foaie de gips-carton, deoarece sunt tăiate cu unghiurile corecte.

Triunghiul egiptean a fost folosit pe scară largă în construcții timp de 2,5 secole. Și astăzi, uneori este necesar să folosiți această tehnică, în lipsa instrumentelor necesare, pentru a obține unghiuri drepte. Proprietățile acestei figuri sunt unice, ceea ce garantează precizie în arhitectură și construcție, ceea ce nu poate fi evitat. Este ușor de lucrat, forma sa este armonioasă și frumoasă. Până în ziua de azi, mințile curioase încearcă să dezlege misterul triunghiului egiptean.

Fiecare știință are propriul său fundament, pe baza căruia se construiește toată dezvoltarea ei ulterioară. Aceasta este, desigur, teorema lui Pitagora. De la școală ei predau formula: „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”. Din punct de vedere științific, sună puțin mai puțin elocvent. Această teoremă este reprezentată vizual cu laturile 3-4-5. Acesta este minunatul Triunghi egiptean.

Poveste

Faimosul matematician și filozof grec Pitagora din Samos, care și-a dat numele teoremei, a trăit acum 2,5 mii de ani. Biografia acestui om de știință remarcabil a fost puțin studiată, dar unele au supraviețuit până în zilele noastre.

La cererea lui Thales, pentru a studia matematica si astronomia, in anul 535 i.Hr. a plecat intr-o lunga calatorie in Egipt si Babilon. În Egipt, printre întinderea nesfârșită a deșertului, a văzut piramide, uimitoare prin dimensiunile lor uriașe și zvelte. forme geometrice. Este de remarcat faptul că Pitagora le-a văzut într-o formă ușor diferită de cea în care turiștii o văd acum. Acestea erau structuri inimaginabil de uriașe pentru acea vreme, cu margini clare și uniforme pe fundalul templelor mai mici adiacente pentru soții, copii și alte rude. Pe lângă scopul lor direct (mormântul și paznicul corpului sacru al faraonului), piramidele au fost construite și ca simboluri ale măreției, bogăției și puterii Egiptului.

Și astfel, Pitagora, în timpul unui studiu atent al acestor structuri, a observat un model strict în relația dintre dimensiunile și formele structurilor. Piramida lui Keops corespunde mărimii triunghiului egiptean era considerată sacră și avea o semnificație magică deosebită.

Piramida lui Keops este o dovadă de încredere că cunoașterea proporțiilor triunghiului egiptean a fost folosită de egipteni cu mult înainte de descoperirea lui Pitagora.

Aplicație

Forma triunghiului este cea mai simplă și cea mai armonioasă, cu care este ușor de lucrat, va fi nevoie doar de cele mai simple instrumente - o busolă și o riglă.

În domeniul geometriei, egiptenii cunoșteau formule exacte pentru aria unui dreptunghi, triunghi, trapez și sfere și puteau calcula volumele unui paralelipiped, cilindru și piramide.

Aria unui patrulater arbitrar cu laturile a, b, c, d a fost calculată aproximativ ca; această formulă brută oferă o precizie acceptabilă dacă cifra este aproape de un dreptunghi.

Egiptenii au presupus că (eroare mai mică de 1%).

Formula pentru aria unui cerc cu diametrul d a fost:

O altă eroare este conținută în papirusul Akmim: autorul crede că dacă raza cercului A este media aritmetică a razelor celorlalte două cercuri B și C, atunci aria cercului A este media aritmetică a ariilor. a cercurilor B și C.

Calculul volumului unei piramide trunchiate: să avem o piramidă trunchiată obișnuită cu latura bazei inferioare a, cea superioară b și înălțimea h; apoi volumul a fost calculat folosind formula originală, dar exactă:

triunghi egiptean

triunghi egiptean

Un triunghi egiptean este un triunghi dreptunghic cu un raport de aspect de 3:4:5. O caracteristică a triunghiului, cunoscută încă din antichitate, este că, cu un astfel de raport al laturilor, teorema lui Pitagora dă pătrate întregi atât ale catetelor, cât și ale ipotenuzei, adică 9:16:25. Suma acestor numere (3+4+5=12) a fost folosită din cele mai vechi timpuri ca unitate de multiplicitate la construirea unghiurilor drepte folosind o frânghie marcată cu noduri la 3/12 și 7/12 din lungimea sa.

Numele unui triunghi cu acest raport de aspect a fost dat de eleni. În secolele VII - V î.Hr. e. Filosofii greci și personalități publice au vizitat în mod activ Egiptul. De exemplu, Pitagora în 535 î.Hr. e. la insistențele lui Thales, a plecat în Egipt pentru a studia astronomia și matematica - și, se pare, încercarea de a generaliza raportul dintre pătratele caracteristic triunghiului egiptean la orice triunghi dreptunghic a fost cea care l-a condus pe Pitagora la formularea și demonstrarea celebrului său teorema.

Triunghiul egiptean a fost folosit în arhitectura Evului Mediu pentru a construi scheme proporționale și pentru a construi unghiuri drepte de către topografi și arhitecți. Triunghiul egiptean este cel mai simplu (și primul cunoscut) dintre triunghiurile heroniene - triunghiuri cu laturi și zone întregi.

Volumul unui trunchi de con

Reconstituirea unui ceas cu apă pe baza desenelor din Oxyrhynchus

Un sul antic de papirus găsit la Oxyrhynchus sugerează că egiptenii ar putea calcula volumul unui trunchi de con. Au folosit aceste cunoștințe pentru a construi ceasuri cu apă. De exemplu, se știe că sub Amenhotep III a fost construit un ceas cu apă la Karnak.

Nu există informații despre dezvoltarea anterioară a matematicii în Egipt. Cam mai târziu, până în epoca elenistică - de asemenea. După aderarea Ptolemeilor, a început o sinteză extrem de fructuoasă a culturilor egiptene și grecești.

Oricine a ascultat cu atenție un profesor de geometrie la școală este foarte familiarizat cu ce este triunghiul egiptean. Se deosebește de alte tipuri de altele similare cu un unghi de 90 de grade în raportul său special de aspect. Când o persoană aude pentru prima dată expresia „triunghi egiptean”, îi vin în minte imagini cu piramide maiestuoase și faraoni. Dar istoria ce spune?

Ca întotdeauna, există mai multe teorii cu privire la numele „Triunghi egiptean”. Potrivit unuia dintre ei, celebra teoremă a lui Pitagora a ieșit la lumină tocmai datorită acestei figuri. În 535 î.Hr. Pitagora, la recomandarea lui Thales, a mers în Egipt pentru a umple unele lacune în cunoștințele sale de matematică și astronomie. Acolo a atras atenția asupra particularităților lucrării geodezilor egipteni. Ei au realizat o construcție cu unghi drept într-un mod foarte neobișnuit, ale cărei laturi au fost interconectate între ele într-un raport de 3-4-5. Această serie matematică a făcut relativ ușor conectarea pătratelor tuturor celor trei laturi cu o singură regulă. Exact așa a apărut celebra teoremă. Iar triunghiul egiptean este exact aceeași cifră care l-a determinat pe Pitagora la o soluție cea mai ingenioasă. Conform altor date istorice, figurii i-au dat numele grecilor: la acea vreme ei vizitau adesea Egiptul, unde puteau fi interesați de munca topografilor. Există posibilitatea ca, așa cum se întâmplă adesea cu descoperirile științifice, ambele povești să se fi întâmplat în același timp, așa că este imposibil de spus cu certitudine cine a venit primul cu numele „triunghi egiptean”. Proprietățile sale sunt uimitoare și, desigur, nu se limitează doar la raportul de aspect. Aria și laturile sale sunt reprezentate prin numere întregi. Datorită acestui fapt, aplicarea teoremei lui Pitagora ne permite să obținem numere întregi ale pătratelor ipotenuzei și catetelor: 9-16-25. Desigur, aceasta ar putea fi doar o coincidență. Dar cum, în acest caz, putem explica faptul că egiptenii considerau triunghiul „lor” sacru? Ei credeau în interconexiunea lui cu întregul Univers.

După ce informațiile despre această figură geometrică neobișnuită au devenit publice, lumea a început să caute alte triunghiuri similare cu laturi întregi. Era evident că au existat. Dar importanța întrebării nu a fost pur și simplu efectuarea de calcule matematice, ci testarea proprietăților „sacre”. Egiptenii, cu toată neobișnuința lor, nu au fost niciodată considerați proști - oamenii de știință încă nu pot explica cum exact au fost construite piramidele. Și aici, dintr-o dată, unei figuri obișnuite i s-a atribuit o legătură cu Natura și Universul. Și, într-adevăr, cuneiformul găsit conține instrucțiuni despre un triunghi similar cu o latură a cărei dimensiune este descrisă de un număr de 15 cifre. În prezent, triunghiul egiptean, ale cărui unghiuri sunt de 90 (dreapta), 53 și 37 de grade, se găsește în locuri complet neașteptate. De exemplu, la studierea comportamentului moleculelor de apă obișnuită, s-a dovedit că schimbarea este însoțită de o restructurare a configurației spațiale a moleculelor, în care puteți vedea... același triunghi egiptean. Dacă ne amintim că este format din trei atomi, atunci putem vorbi despre trei laturi condiționate. Desigur, nu vorbim despre o coincidență totală a celebrului raport, dar cifrele rezultate sunt foarte, foarte apropiate de cele cerute. Acesta este motivul pentru care egiptenii au recunoscut triunghiul lor „3-4-5” ca o cheie simbolică a fenomenelor naturale și a secretelor Universului? La urma urmei, apa, după cum știți, este baza vieții. Fără îndoială, este prea devreme pentru a pune capăt studiului celebrei figuri egiptene. Știința nu se grăbește niciodată să tragă concluzii, căutând să-și demonstreze presupunerile. Și nu putem decât să așteptăm și să fim uimiți de cunoștințe

Faimosul matematician Pitagora a făcut multe descoperiri diferite, dar pentru majoritatea oamenilor care nu se ocupă în mod regulat de algebră și geometrie, el este cunoscut pentru teorema sa. Omul de știință a descoperit-o în Egipt, unde a fost captivat de frumusețea și eleganța piramidelor, iar aceasta, la rândul său, i-a dat ideea că un anumit tipar poate fi urmărit în formele lor.

Istoria descoperirii

Triunghiul egiptean își datorează numele elenilor, care au vizitat adesea Egiptul în secolele VII-V î.Hr. e., printre ei s-a numărat și Pitagora. Baza piramidei lui Keops este un poligon dreptunghiular și

Piramidele lui Khafre sunt așa-numitul triunghi egiptean, pe care anticii l-au numit sacru. Plutarh a scris că locuitorii Egiptului au corelat natura cu această figură geometrică: piciorul vertical simbolizează un bărbat, baza o femeie, iar ipotenuza un copil. Raportul de aspect din acesta este 3:4:5 și aceasta duce la teorema lui Pitagora, deoarece 3 2 x 4 2 = 5 2. Prin urmare, faptul că triunghiul egiptean se află la baza piramidei lui Khafre sugerează că celebra teoremă era cunoscută de locuitorii lumii antice chiar înainte ca Pitagora să o formuleze. O caracteristică specială a acestei figuri este, de asemenea, considerată că, datorită acestui raport de aspect, este primul și cel mai simplu dintre triunghiurile heroniene, deoarece laturile și aria sa sunt întregi.

Aplicație

Triunghiul egiptean a fost popular în arhitectură și construcții încă din cele mai vechi timpuri.

A fost folosit în principal la construirea unghiurilor drepte folosind un cordon sau o frânghie împărțită în 12 părți. Folosind semnele de pe o astfel de frânghie, a fost posibil să se creeze foarte precis o figură dreptunghiulară, ale cărei picioare să servească drept ghiduri pentru stabilirea unghiului drept al structurii. Se știe că astfel de proprietăți ale acestei figuri geometrice au fost folosite nu numai în Egiptul Antic, ci și, cu mult înainte, în China, Babilon și Mesopotamia. Triunghiul egiptean a fost folosit și pentru a crea structuri proporționale în Evul Mediu.

Unghiuri

Raportul de aspect al acestui triunghi este 3:4:5, rezultând că acesta este un triunghi dreptunghic, adică un unghi este de 90 de grade, iar celelalte două sunt de 53,13 și 36,87 de grade. Un unghi drept este un unghi între laturi al cărui raport este de 3:4.

Dovada

Cu câteva calcule simple poți demonstra că triunghiul este un triunghi dreptunghic. Dacă urmăm teorema inversă celei create de Pitagora, adică dacă suma pătratelor a două laturi este egală cu pătratul celei de-a treia, atunci este dreptunghiulară și, deoarece laturile sale duc la egalitatea 3 2 x 4 2 = 5 2, prin urmare, este dreptunghiular.
Pentru a rezuma, trebuie remarcat faptul că triunghiul egiptean, ale cărui proprietăți sunt cunoscute omenirii de multe secole, continuă să fie folosit în arhitectură și astăzi. Acest lucru nu este deloc surprinzător, deoarece această metodă garantează acuratețea, care este foarte importantă în timpul construcției. În plus, este foarte ușor de utilizat, ceea ce face și procesul mult mai ușor. Toate avantajele utilizării acestei metode au fost testate de secole și rămân populare până în zilele noastre.