Иррациональное число. Иррациональные числа: что это такое и для чего они используются

Рациональное число – число, представляемое обыкновенной дробью m/n, где числитель m – целое число, а знаменатель n – натуральное число. Любое рациональное число представимо в виде периодической бесконечной десятичной дроби. Множество рациональных чисел обозначается Q.

Если действительное число не является рациональным, то оно иррациональное число . Десятичные дроби, выражающие иррациональные числа бесконечны и не периодичны. Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой I.

Действительное число называется алгебраическим , если оно является корнем некоторого многочлена (ненулевой степени) с рациональными коэффициентами. Любое неалгебраическое число называется трансцендентным .

Некоторые свойства:

Множество рациональных чисел располагается на числовой оси всюду плотно: между любыми двумя различными рациональными числами расположено хотя бы одно рациональное число (а значит, и бесконечное множество рациональных чисел). Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел Q и множество натуральных чисел N эквивалентны, то есть между ними можно установить взаимно однозначное соответствие (все элементы множества рациональных чисел можно перенумеровать).

Множество Q рациональных чисел является замкнутым относительно сложения, вычитания, умножения и деления, то есть сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел также являются рациональными числами.

Все рациональные числа являются алгебраическими (обратное утверждение – неверное).

Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.

Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.

Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число (а значит, и бесконечное множество иррациональных чисел).

Множество иррациональных чисел несчётно.

При решении задач бывает удобно вместе с иррациональным числом a + b√ c (где a, b – рациональные числа, с – целое, не являющееся квадратом натурального числа) рассмотреть «сопряжённое» с ним число a – b√ c : его сумма и произведение с исходным – рациональные числа. Так что a + b√ c и a – b√ c являются корнями квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

Задачи с решениями

1. Докажите, что

а) число √ 7 ;

б) число lg 80;

в) число √ 2 + 3 √ 3 ;

является иррациональным.

а) Допустим, что число √ 7 рациональное. Тогда, существуют такие взаимно простые p и q, что √ 7 = p/q, откуда получаем p 2 = 7q 2 . Так как p и q взаимно простые, то p 2 , а значит и p делится на 7. Тогда р = 7k, где k – некоторое натуральное число. Отсюда q 2 = 7k 2 = pk, что противоречит тому, что p и q взаимно просты.

Итак, предположение ложно, значит, число √ 7 иррациональное.

б) Допустим, что число lg 80 рациональное. Тогда существуют такие натуральные p и q, что lg 80 = p/q, или 10 p = 80 q , откуда получаем 2 p–4q = 5 q–p . Учитывая, что числа 2 и 5 взаимно простые, получаем, что последнее равенство возможно только при p–4q = 0 и q–p = 0. Откуда p = q = 0, что невозможно, так как p и q выбраны натуральными.

Итак, предположение ложно, значит, число lg 80 иррациональное.

в) Обозначим данное число через х.

Тогда (х – √ 2 ) 3 = 3, или х 3 + 6х – 3 = √ 2· (3х 2 + 2). После возведения этого уравнения в квадрат получаем, что х должен удовлетворять уравнению

х 6 – 6х 4 – 6х 3 + 12х 2 – 36х + 1 = 0.

Его рациональными корнями могут быть только числа 1 и –1. Проверка же показывает, что 1 и –1 не являются корнями.

Итак, данное число √ 2 + 3 √ 3 является иррациональным.

2. Известно, что числа a, b, √ a –√ b , – рациональные. Докажите, что √ a и √ b – тоже рациональные числа.

Рассмотрим произведение

(√ a – √ b )·(√ a + √ b ) = a – b.

Число √ a +√ b , которое равно отношению чисел a – b и √ a –√ b , является рациональным, так как частное от деления двух рациональных чисел – число рациональное. Сумма двух рациональных чисел

½ (√ a + √ b ) + ½ (√ a – √ b ) = √ a

– число рациональное, их разность,

½ (√ a + √ b ) – ½ (√ a – √ b ) = √ b ,

тоже рациональное число, что и требовалось доказать.

3. Докажите, что существуют положительные иррациональные числа a и b, для которых число a b является натуральным.

4. Существуют ли рациональные числа a, b, c, d, удовлетворяющие равенству

(a + b√ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

где n – натуральное число?

Если выполнено равенство, данное в условии, а числа a, b, c, d – рациональные, то выполнено и равенство:

(a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2 .

Но 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. Полученное противоречие доказывает то, что исходное равенство невозможно.

Ответ: не существуют.

5. Если отрезки с длинами a, b, c образуют треугольник, то для всех n = 2, 3, 4, . . . отрезки с длинами n √ a , n √ b , n √ c так же образуют треугольник. Докажите это.

Если отрезки с длинами a, b, c образуют треугольник, то неравенство треугольника даёт

Поэтому мы имеем

( n √ a + n √ b ) n > a + b > c = ( n √ c ) n ,

N √ a + n √ b > n √ c .

Остальные случаи проверки неравенства треугольника рассматриваются аналогично, откуда и следует заключение.

6. Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011121314... (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) представляет собой иррациональное число.

Как известно, рациональные числа выражаются десятичными дробями, которые имеют период начиная с некоторого знака. Поэтому достаточно доказать, что данная дробь не является периодической ни с какого знака. Предположим, что это не так, и некоторая последовательность T, состоящая из n цифр, является периодом дроби, начиная с m-го знака после запятой. Ясно, что среди цифр после m-го знака встречаются ненулевые, поэтому в последовательности цифр T есть ненулевая цифра. Это означает, что начиная с m-ой цифры после запятой, среди любых n цифр подряд есть ненулевая цифра. Однако в десятичной записи данной дроби должна присутствовать десятичная запись числа 100...0 = 10 k , где k > m и k > n. Понятно, что эта запись встретится правее m-ой цифры и содержит более n нулей подряд. Тем самым, получаем противоречие, завершающее доказательство.

7. Дана бесконечная десятичная дробь 0,a 1 a 2 ... . Докажите, что цифры в ее десятичной записи можно переставить так, чтобы полученная дробь выражала рациональное число.

Напомним, что дробь выражает рациональное число в том и только том случае, когда она периодическая, начиная с некоторого знака. Цифры от 0 до 9 разделим на два класса: в первый класс включим те цифры, которые встречаются в исходной дроби конечное число раз, во второй класс – те, которые встречаются в исходной дроби бесконечное число раз. Начнем выписывать периодическую дробь, которая может быть получена из исходной перестановкой цифр. Вначале после нуля и запятой напишем в произвольном порядке все цифры из первого класса - каждую столько раз, сколько она встречается в записи исходной дроби. Записанные цифры первого класса будут предшествовать периоду в дробной части десятичной дроби. Далее, запишем в некотором порядке по одному разу цифры из второго класса. Эту комбинацию объявим периодом и будем повторять ее бесконечное число раз. Таким образом, мы выписали искомую периодическую дробь, выражающую некоторое рациональное число.

8. Доказать, что в каждой бесконечной десятичной дроби существует последовательность десятичных знаков произвольной длины, которая в разложении дроби встречается бесконечно много раз.

Пусть m – произвольно заданное натуральное число. Разобьем данную бесконечную десятичную дробь на отрезки, по m цифр в каждом. Таких отрезков будет бесконечно много. С другой стороны, различных систем, состоящих из m цифр, существует только 10 m , т. е. конечное число. Следовательно, хотя бы одна из этих систем должна повторяться здесь бесконечно много раз.

Замечание. Для иррациональных чисел √ 2 , π или е мы даже не знаем, какая цифра повторяется бесконечно много раз в представляющих их бесконечных десятичных дробях, хотя каждое из этих чисел, как легко можно доказать, содержит по крайней мере две различные такие цифры.

9. Докажите элементарным путём, что положительный корень уравнения

является иррациональным.

Для х > 0 левая часть уравнения возрастает с возрастанием х, и легко заметить, что при х = 1,5 она меньше 10, а при х = 1,6 – больше 10. Поэтому единственный положительный корень уравнения лежит внутри интервала (1,5; 1,6).

Запишем корень как несократимую дробь p/q, где p и q – некоторые взаимно простые натуральные числа. Тогда при х = p/q уравнение примет следующий вид:

p 5 + pq 4 = 10q 5 ,

откуда следует, что р – делитель 10, следовательно, р равно одному из чисел 1, 2, 5, 10. Однако выписывая дроби с числителями 1, 2, 5, 10, сразу же замечаем, что ни одна из них не попадает внутрь интервала (1,5; 1,6).

Итак, положительный корень исходного уравнения не может быть представлен в виде обыкновенной дроби, а значит является иррациональным числом.

10. а) Существуют ли на плоскости три такие точки A, B и C, что для любой точки X длина хотя бы одного из отрезков XA, XB и XC иррациональна?

б) Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите, что координаты центра его описанной окружности также рациональны.

в) Существует ли такая сфера, на которой имеется ровно одна рациональная точка? (Рациональная точка – точка, у которой все три декартовы координаты - рациональные числа.)

а) Да, существуют. Пусть C – середина отрезка AB. Тогда XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Если число AB 2 иррационально, то числа XA, XB и XC не могут одновременно быть рациональными.

б) Пусть (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) и (a 3 ; b 3) – координаты вершин треугольника. Координаты центра его описанной окружности задаются системой уравнений:

(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 2) 2 + (y – b 2) 2 ,

(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 3) 2 + (y – b 3) 2 .

Легко проверить, что эти уравнения линейные, а значит, решение рассматриваемой системы уравнений рационально.

в) Такая сфера существует. Например, сфера с уравнением

(x – √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

Точка O с координатами (0; 0; 0) – рациональная точка, лежащая на этой сфере. Остальные точки сферы иррациональные. Докажем это.

Допустим противное: пусть (x; y; z) – рациональная точка сферы, отличная от точки O. Понятно, что х отличен от 0, так как при x = 0 имеется единственное решение (0; 0; 0), которое нас сейчас не интересует. Раскроем скобки и выразим √ 2 :

x 2 – 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

чего не может быть при рациональных x, y, z и иррациональном √ 2 . Итак, О(0; 0; 0) – единственная рациональная точка на рассматриваемой сфере.

Задачи без решений

1. Докажите, что число

\[ \sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}} \]

является иррациональным.

2. При каких целых m и n выполняется равенство (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n ?

3. Существует ли такое число а, чтобы числа а – √ 3 и 1/а + √ 3 были целыми?

4. Могут ли числа 1, √ 2 , 4 быть членами (не обязательно соседними) арифметической прогрессии?

5. Докажите, что при любом натуральном n уравнение (х + у√ 3 ) 2n = 1 + √ 3 не имеет решений в рациональных числах (х; у).

Ранее мы уже показали, что $1\frac25$ — близко к $\sqrt2$. Если бы оно точно равнялось $\sqrt2$, . Тогда соотношение — $\frac{1\frac25}{1}$, которое можно превратить в соотношение целых чисел $\frac75$, умножив верхнюю и нижнюю части дроби на 5, и было бы искомой величиной.

Но, к сожалению, $1\frac25$ не является точной величиной $\sqrt2$. Более точный ответ $1\frac{41}{100}$, дает нам соотношение $\frac{141}{100}$. Еще большей точности мы достигаем, когда приравниваем $\sqrt2$ к $1\frac{207}{500}$. В этом случае соотношение в целых числах будет равно $\frac{707}{500}$. Но и $1\frac{207}{500}$ не является точным значением корня квадратного из 2. Греческие математики потратили массу времени и сил, чтобы вычислить точное значение $\sqrt2$, но это им так и не удалось. Они не смогли представить соотношение $\frac{\sqrt2}{1}$ в виде соотношения целых чисел.

Наконец, великий греческий математик Евклид доказал, что, как бы ни увеличивалась точность подсчетов, получить точное значение $\sqrt2$ невозможно. Не существует такой дроби, которая, будучи возведена в квадрат, даст в результате 2. Говорят, что первым к этому заключению пришел Пифагор, но этот необъяснимый факт настолько поразил ученого, что он поклялся сам и взял со своих учеников клятву хранить это открытие в тайне. Однако, возможно, эти сведения не соответствуют действительности.

Но если число $\frac{\sqrt2}{1}$ не может быть представлено в виде соотношения целых чисел, то и никакая , содержащая $\sqrt2$, например $\frac{\sqrt2}{2}$ или $\frac{4}{\sqrt2}$ также не может быть представлена в виде соотношения целых чисел, поскольку все такие дроби могут быть преобразованы в $\frac{\sqrt2}{1}$, умноженное на какое нибудь число. Так $\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{1} \times \frac12$. Или $\frac{\sqrt2}{1} \times 2=2\frac{\sqrt2}{1}$, что можно преобразовать, умножив верхнюю и нижнюю части на $\sqrt2$, и получить $\frac{4}{\sqrt2}$. (Не следует забывать, что независимо от того, что представляет собой число $\sqrt2$, если мы умножим его на $\sqrt2$, то получим 2.)

Поскольку число $\sqrt2$ нельзя представить в виде соотношения целых чисел, оно получило название иррационального числа . С другой стороны, все числа, которые можно представить в виде соотношения целых чисел, называются рациональными .

Рациональными являются все целые и дробные числа, как положительные, так и отрицательные.

Как оказалось, большинство квадратных корней являются иррациональными числами. Рациональные квадратные корни есть только у чисел, входящих в ряд квадратных чисел. Эти числа называются также идеальными квадратами. Рациональными числами являются также дроби, составленные из этих идеальных квадратов. Например, $\sqrt{1\frac79}$ является рациональным числом, так как $\sqrt{1\frac79}=\frac{\sqrt16}{\sqrt9}=\frac43$ или $1\frac13$ (4 - это корень квадратный из 16, а 3 - корень квадратный из 9).

Все рациональные числа можно представить в виде обыкновенной дроби. Это касается и целых чисел (например, 12, –6, 0), и конечных десятичных дробей (например, 0,5; –3,8921) , и бесконечных периодических десятичных дробей (например, 0,11(23); –3,(87)).

Однако бесконечные непериодические десятичные дроби представить в виде обыкновенных дробей невозможно. Они то и являются иррациональными числами (то есть нерациональными). Примером такого числа является число π, которое приблизительно равно 3,14. Однако чему оно точно равно, определить нельзя, так как после цифры 4 идет бесконечный ряд других цифр, в которых нельзя выделить повторяющиеся периоды. При этом, хотя число π нельзя точно выразить, у него есть конкретный геометрический смысл. Число π - это отношение длины любой окружности к длине ее диаметра. Таким образом иррациональные числа действительно существуют в природе, также как рациональные.

Другим примером иррациональных чисел могут служить квадратные корни из положительных чисел. Извлечение корней из одних чисел дает рациональные значения, из других - иррациональное. Например, √4 = 2, т. е. корень из 4 - это рациональное число. А вот √2, √5, √7 и многие другие дают в результате иррациональные числа, т. е. их можно извлечь лишь с приближением, округлив до определенного знака после запятой. При этом дробь получается непериодическая. То есть нельзя точно и определенно сказать, чему равен корень из этих чисел.

Так √5 - это число лежащее между числами 2 и 3, так как √4 = 2, а √9 = 3. Можно также сделать вывод, что √5 ближе к 2, чем к 3, т. к. √4 ближе к √5, чем √9 к √5. Действительно, √5 ≈ 2,23 или √5 ≈ 2,24.

Иррациональные числа получаются также в других вычислениях (а не только при извлечении корней), бывают отрицательными.

По отношению к иррациональным числам можно сказать, что какой бы единичный отрезок мы не взяли для измерения длины, выраженной таким числом, мы не сможем ее определенно измерить.

В арифметических операциях иррациональные числа могут участвовать наряду с рациональными. При этом есть ряд закономерностей. Например, если в арифметической операции участвуют только рациональные числа, то в результате получается всегда рациональное число. Если же в операции участвуют только иррациональные, то сказать однозначно, получится ли рациональное или иррациональное число, нельзя.

Например, если умножить два иррациональных числа √2 * √2, то получится 2 - это рациональное число. С другой стороны, √2 * √3 = √6 - это иррациональное число.

Если в арифметической операции участвует рациональное и иррациональное числа, то получится иррациональный результат. Например, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 – 4.

Почему √17 – 4 - это иррациональное число? Представим, что получится рациональное число x. Тогда √17 = x + 4. Но x + 4 - это рациональное число, т. к. мы предположили, что x рациональное. Число 4 тоже рациональное, значит x + 4 рационально. Однако рациональное число не может быть равно иррациональному √17. Поэтому предположение, что √17 – 4 дает рациональный результат неверно. Результат арифметической операции будет иррациональным.

Однако из этого правила есть исключение. Если мы умножаем иррациональное число на 0, то получится рациональное число 0.

Иррациона́льное число́ - это вещественное число , которое не является рациональным , то есть не может быть представлено в виде дроби , где - целые числа , . Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби .

Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой в полужирном начертании без заливки. Таким образом: , т.е. множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков , несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

Свойства

Всякое вещественное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби , при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
Каждое иррациональное число является либо алгебраическим , либо трансцендентным.
Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.
Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.
Множество иррациональных чисел несчётно , является множеством второй категории .

Примеры

Иррациональные числа
- ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

Иррациональными являются:

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде несократимой дроби , где - целое число , а - натуральное число . Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пускай , где целое. Тогда

Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и - иррациональное число.

Двоичный логарифм числа 3

Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде дроби , где и - целые числа . Поскольку , и могут быть выбраны положительными. Тогда

Но чётно, а нечётно. Получаем противоречие.

e

История

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. - ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены.

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу , который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок. Однако Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины, поскольку предположение о её существовании приводит к противоречию. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство выглядело следующим образом:

Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a :b , где a и b выбраны наименьшими из возможных.
По теореме Пифагора: a ² = 2b ².
Так как a ² четное, a должно быть четным (так как квадрат нечетного числа был бы нечетным).
Поскольку a :b несократима, b обязано быть нечетным.
Так как a четное, обозначим a = 2y .
Тогда a ² = 4y ² = 2b ².
b ² = 2y ², следовательно b ² четное, тогда и b четно.
Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

С отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

Иррациональными являются:

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде несократимой дроби , где и - целые числа . Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пускай , где целое. Тогда

Двоичный логарифм числа 3

Но чётно, а нечётно. Получаем противоречие.

e

История

Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a :b , где a и b выбраны наименьшими из возможных.
По теореме Пифагора: a ² = 2b ².
Так как a ² четное, a должно быть четным (так как квадрат нечетного числа был бы нечетным).
Поскольку a :b несократима, b обязано быть нечетным.
Так как a четное, обозначим a = 2y .
Тогда a ² = 4y ² = 2b ².
b ² = 2y ², следовательно b ² четное, тогда и b четно.
Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.

См. также

Примечания

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа () Целые ()