Квадратные неравенства и их решения. Квадратные неравенства. Исчерпывающее руководство (2019)

Средний уровень

Квадратные неравенства. Исчерпывающее руководство (2019)

Чтобы разобраться, как решать квадратные уравнения, нам потребуется разобраться, что же такое квадратичная функция, и какими свойствами она обладает.

Наверняка ты задавался вопросом, зачем вообще нужна квадратичная функция? Где применим ее график (парабола)? Да стоит только оглядеться, и ты заметишь, что ежедневно в повседневной жизни сталкиваешься с ней. Замечал, как на физкультуре летит брошенный мяч? «По дуге»? Самым верным ответом будет «по параболе»! А по какой траектории движется струя в фонтане? Да, тоже по параболе! А как летит пуля или снаряд? Все верно, тоже по параболе! Таким образом, зная свойства квадратичной функции, можно будет решать многие практические задачи. К примеру, под каким углом необходимо кинуть мяч, чтобы обеспечить наибольшую дальность полета? Или, где окажется снаряд, если запустить его под определенным углом? и т.д.

Квадратичная функция

Итак, давай разбираться.

К примеру, . Чему здесь равны, и? Ну, конечно, и!

А что, если, т.е. меньше нуля? Ну конечно, мы «грустим», а, значит, ветви будут направлены вниз! Давай посмотрим на графике.

На этом рисунке изображен график функции. Так как, т.е. меньше нуля, ветви параболы направлены вниз. Кроме того, ты, наверное, уже заметил, что ветви этой параболы пересекают ось, а значит, уравнение имеет 2 корня, а функция принимает как положительные и отрицательные значения!

В самом начале, когда мы давали определение квадратичной функции, было сказано, что и - некоторые числа. А могут ли они быть равны нулю? Ну конечно, могут! Даже открою еще больший секрет (который и не секрет вовсе, но упомянуть о нем стоит): на эти числа (и) вообще никакие ограничения не накладываются!

Ну что, давай посмотрим, что будет с графиками, если и равны нулю.

Как видно, графики рассматриваемых функций (и) сместились так, что их вершины находятся теперь в точке с координатами, то есть на пересечении осей и, на направлении ветвей это никак не отразилось. Таким образом, можно сделать вывод, что и отвечают за «передвижения» графика параболы по системе координат.

График функции касается оси в точке. Значит, уравнение имеет один корень. Таким образом, функция принимает значения больше либо равные нулю.

Придерживаемся той же логики с графиком функции. Он касается оси x в точке. Значит, уравнение имеет один корень. Таким образом, функция принимает значения меньше либо равные нулю, то есть.

Таким образом, чтобы определить знак выражения, первое, что необходимо сделать - это найти корни уравнения. Это нам очень пригодится.

Квадратное неравенство

При решении таких неравенств нам пригодятся умения определять, где квадратичная функция больше, меньше, либо равна нулю. То есть:

• если перед нами неравенство вида, то фактически задача сводится к тому, чтобы определить числовой промежуток значений, при котором парабола лежит выше оси.
• если перед нами неравенство вида, то фактически задача сводится к тому, чтобы определить числовой промежуток значений x, при котором парабола лежит ниже оси.

Если неравенства нестрогие (и), то корни (координаты пересечений параболы с осью) включаются в искомый числовой промежуток, при строгих неравенствах - исключаются.

Это все достаточно формализовано, однако не надо отчаиваться и пугаться! Сейчас разберем примеры, и все станет на свои места.

При решении квадратных неравенств будем придерживаться приведенного алгоритма, и нас ждет неизбежный успех!

Алгоритм	Пример:
1) Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение (просто меняем знак неравенства на знак равенства «=»).
2) Найдем корни этого уравнения.
3) Отметим корни на оси и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз»)
4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там где парабола выше оси, ставим « », а там где ниже - « ».
5) Выписываем интервал(ы), соответствующий « » или « », в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое , корни входят в интервал, если строгое - не входят.

Разобрался? Тогда вперед закреплять!

Пример:

Ну что, получилось? Если возникли затруднения, то разбирайся в решениях.

Решение:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ». Неравенство нестрогое, поэтому корни включаются в интервалы:

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

Найдем корни данного квадратного уравнения:

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ». Неравенство строгое, поэтому корни не включаются в интервалы:

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

Найдем корни данного квадратного уравнения:

данное уравнение имеет один корень

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ». При любом функция принимает неотрицательные значения. Так как неравенство нестрогое, то ответом будет.

Запишем соответсвующее квадратное уравнение:

Найдем корни данного квадратного уравнения:

Схематично нарисуем график параболы и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ». При любом функция принимает положительные значения, следовательно, решением неравенства будет интервал:

КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Квадратичная функция.

Прежде чем говорить о теме «квадратные неравенства», вспомним что такое квадратичная функция и что из себя представляет ее график.

Другими словами, это многочлен второй степени .

График квадратичной функции - парабола (помнишь, что это такое?). Ее ветви направлены вверх, если "a) функция принимает только положительные значения при всех, а во втором () - только отрицательные:

В случае, когда у уравнения () ровно один корень (например, если дискриминант равен нулю), это значит, что график касается оси:

Тогда, аналогично предыдущему случаю, при " .

Так вот, мы ведь недавно уже научились определять, где квадратичная функция больше нуля, а где - меньше:

Если квадратное неравенство нестрогое , то корни входят в числовой промежуток, если строгое - не входят.

Если корень только один, - ничего страшного, будет везде один и тот же знак. Если корней нет, все зависит только от коэффициента: если "25{{x}^{2}}-30x+9

Ответы:

2) 25{{x}^{2}}-30x+9>

Корней нет, поэтому все выражение в левой части принимает знак коэффициента перед:

• Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен больше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит выше оси.
• Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен меньше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси.

КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Квадратичная функция - это функция вида: ,

График квадратичной функции - парабола. Ее ветви направлены вверх, если, и вниз, если:

Виды квадратных неравенств:

Все квадратные неравенства сводятся к следующим четырем видам:

Алгоритм решения:

Алгоритм	Пример:
1) Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение (просто меняем знак неравенства на знак равенства « »).
2) Найдем корни этого уравнения.
3) Отметим корни на оси и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз»)
4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там где парабола выше оси, ставим « », а там где ниже - « ».
5) Выписываем интервал(ы), соответствующий(ие) « » или « », в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое - не входят.

В этой статье собран материал, покрывающий тему «решение квадратных неравенств ». Сначала показано, что представляют собой квадратные неравенства с одной переменной, дан их общий вид. А дальше детально разобрано как решать квадратные неравенства. Показаны основные подходы к решению: графический способ, метод интервалов и путем выделение квадрата двучлена в левой части неравенства. Приведены решения характерных примеров.

Навигация по странице.

Что такое квадратное неравенство?

Естественно, прежде чем говорить о решении квадратных неравенств, надо отчетливо понимать, что такое квадратное неравенство. Иными словами, нужно по виду записи уметь отличать квадратные неравенства от неравенств других видов.

Определение.

Квадратное неравенство – это неравенство вида a·x 2 +b·x+c<0 (вместо знака > может быть любой другой знак неравенства ≤, >, ≥), где a , b и c – некоторые числа, причем a≠0 , а x – переменная (переменная может быть обозначена и любой другой буквой).

Сразу дадим еще одно название квадратных неравенств – неравенства второй степени . Это название объясняется тем, что в левой части неравенств a·x 2 +b·x+c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

Также иногда можно слышать, что квадратные неравенства называют квадратичными неравенствами. Это не совсем корректно: определение «квадратичные» относится к функциям, заданным уравнениями вида y=a·x 2 +b·x+c . Итак, есть квадратные неравенства и квадратичные функции , но не квадратичные неравенства.

Покажем несколько примеров квадратных неравенств: 5·x 2 −3·x+1>0 , здесь a=5 , b=−3 и c=1 ; −2,2·z 2 −0,5·z−11≤0 , коэффициенты этого квадратного неравенства есть a=−2,2 , b=−0,5 и c=−11 ; , в этом случае .

Обратите внимание, что в определении квадратного неравенства коэффициент a при x 2 считается отличным от нуля. Это и понятно, равенство коэффициента a нулю фактически «уберет» квадрат, и мы будем иметь дело с линейным неравенством вида b·x+c>0 без квадрата переменной. А вот коэффициенты b и c могут быть равными нулю, причем как по отдельности, так и одновременно. Вот примеры таких квадратных неравенств: x 2 −5≥0 , здесь коэффициент b при переменной x равен нулю; −3·x 2 −0,6·x<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 и b , и c равны нулю.

Как решать квадратные неравенства?

Теперь можно озадачиться вопросом как решать квадратные неравенства. В основном для решения используются три основных метода:

• графический способ (или, как у А. Г. Мордковича, функционально-графический),
• метод интервалов,
• и решение квадратных неравенств через выделение квадрата двучлена в левой части.

Графическим способом

Сразу оговоримся, что метод решения квадратных неравенств, к рассмотрению которого мы приступаем, в школьных учебниках алгебры не называют графическим. Однако по сути это он и есть. Более того, первое знакомство с графическим способом решения неравенств обычно и начинается тогда, когда встает вопрос, как решать квадратные неравенства.

Графический способ решения квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c<0 (≤, >, ≥) заключается в анализе графика квадратичной функции y=a·x 2 +b·x+c для нахождения промежутков, в которых указанная функция принимает отрицательные, положительные, неположительные или неотрицательные значения. Эти промежутки и составляют решения квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c<0 , a·x 2 +b·x+c>0 , a·x 2 +b·x+c≤0 и a·x 2 +b·x+c≥0 соответственно.

Методом интервалов

Для решения квадратных неравенств с одной переменной помимо графического метода достаточно удобен метод интервалов , который сам по себе очень универсален, и подходит для решения различных неравенств, а не только квадратных. Его теоретическая сторона лежит за пределами курса алгебры 8, 9 классов, когда учатся решать квадратные неравенства. Поэтому здесь мы не будем вдаваться в теоретическое обоснование метода интервалов, а сосредоточимся на том, как с его помощью решаются именно квадратные неравенства.

Суть метода интервалов, по отношению к решению квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c<0 (≤, >, ≥), состоит в определении знаков, которые имеют значения квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c на промежутках, на которые разбивается координатная ось нулями этого трехчлена (при их наличии). Промежутки со знаками минус составляют решения квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0 , а при решении нестрогих неравенств к указанным промежуткам добавляются точки, отвечающие нулям трехчлена.

Познакомиться со всеми деталями этого метода, его алгоритмом, правилами расстановки знаков на промежутках и рассмотреть готовые решения типовых примеров с приведенными иллюстрациями Вы можете, обратившись к материалу статьи решение квадратных неравенств методом интервалов .

Путем выделения квадрата двучлена

Кроме графического метода и метода интервалов существуют и другие подходы, позволяющие решать квадратные неравенства. И мы подошли к одному из них, в основе которого лежит выделение квадрата двучлена в левой части квадратного неравенства.

Принцип этого способа решения квадратных неравенств состоит в выполнении равносильных преобразований неравенства , позволяющих перейти к решению равносильного неравенства вида (x−p) 2 , ≥), где p и q – некоторые числа.

А как осуществляется переход к неравенству (x−p) 2 , ≥) и как его решить разъясняет материал статьи решение квадратных неравенств путем выделения квадрата двучлена . Там же представлены примеры решения квадратных неравенств этим способом и даны необходимые графические иллюстрации.

Неравенства, сводящиеся к квадратным

На практике очень часто приходится сталкиваться с неравенствами, приводящимися с помощью равносильных преобразований к квадратным неравенствам вида a·x 2 +b·x+c<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

Начнем с примеров самых простых неравенств, которые сводятся к квадратным. Иногда, чтобы перейти к квадратному неравенству, достаточно переставить в данном неравенстве слагаемые или перенести их из одной части в другую. Например, если перенести все слагаемые из правой части неравенства 5≤2·x−3·x 2 в левую, то получим квадратное неравенство в оговоренном выше виде 3·x 2 −2·x+5≤0 . Еще пример: переставив в левой части неравенства 5+0,6·x 2 −x<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .

В школе на уроках алгебры, когда учатся решать квадратные неравенства, одновременно разбираются и с решением рациональных неравенств , сводящихся к квадратным. Их решение предполагает перенос всех слагаемых в левую часть с последующим преобразованием образовавшегося там выражения к виду a·x 2 +b·x+c путем выполнения . Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите множество решений неравенства 3·(x−1)·(x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5 .иррациональное неравенство равносильно квадратному неравенству x 2 −6·x−9<0 , а логарифмическое неравенство – неравенству x 2 +x−2≥0 .

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.

Квадратное неравенство – «ОТ и ДО». В этой статье мы с вами рассмотрим решение квадратных неравенств что называется до тонкостей. Изучать материал статьи рекомендую внимательно ничего не пропуская. Осилить статью сразу не получится, рекомендую сделать это за несколько подходов, информации много.

Содержание:

Вступление. Важно!

Вступление. Важно!

Квадратное неравенство – это неравенство вида:

Если взять квадратное уравнение и заменить знак равенства на любой из указанных выше, то получится квадратное неравенство. Решить неравенство - это значит ответить на вопрос, при каких значениях х данное неравенство будет верно. Примеры:

10 x 2 – 6 x +12 ≤ 0

2 x 2 + 5 x –500 > 0

– 15 x 2 – 2 x +13 > 0

8 x 2 – 15 x +45≠ 0

Квадратное неравенство может быть задано в неявном виде, например:

10 x 2 – 6 x +14 x 2 –5 x +2≤ 56

2 x 2 > 36

8 x 2 <–15 x 2 – 2 x +13

0> – 15 x 2 – 2 x +13

В этом случае необходимо выполнить алгебраические преобразования и привести его к стандартному виду (1).

*Коэффициенты могут быть и дробными и иррациональными, но в школьной программе такие примеры редкость, а в заданиях ЕГЭ не встречаются вообще. Но вы не пугайтесь, если, например, встретите:

Это тоже квадратное неравенство.

Сначала рассмотрим простой алгоритм решения, не требующий понимания того, что такое квадратичная функция и как её график выглядит на координатной плоскости относительно осей координат. Если вы способны запоминать информацию крепко и надолго, при этом регулярно подкрепляете её практикой, то алгоритм вам поможет. Так же если вам, как говорится, нужно решить такое неравенство «наразок», то алгоритм вам в помощь. Следуя ему вы без труда осуществите решение.

Если же вы учитесь в школе, то настоятельно рекомендую вам начать изучение статьи со второй части, где рассказывается весь смысл решения (смотрите ниже с пункта – ). Если будет понимание сути, то не учить, не запоминать указанный алгоритм будет не нужно, вы без труда быстро решите любое квадратное неравенство.

Конечно, следовало бы сразу начать разъяснение именно с графика квадратичной функции и oбъяснения самого смысла, но решил «построить» статью именно так.

Ещё один теоретический момент! Посмотрите формулу разложения квадратного трёхчлена на множители:

где х 1 и х 2 — корни квадратного уравнения ax 2 + bx +c=0

*Для того, чтобы решить квадратное неравенство, необходимо будет квадратный трёхчлен разложить на множители.

Представленный ниже алгоритм называют ещё методом интервалов. Он подходит для решения неравенств вида f (x )>0, f (x )<0 , f (x )≥0 и f (x )≤0 . Обратите внимание, что множителей может более двух, например:

(х–10)(х+5)(х–1)(х+104)(х+6)(х–1)<0

Алгоритм решения. Метод интервалов. Примеры.

Дано неравенство ax 2 + bx + с > 0 (знак любой).

1. Записываем квадратное уравнение ax 2 + bx + с = 0 и решаем его. Получаем х 1 и х 2 – корни квадратного уравнения.

2. Подставляем в формулу (2) коэффициент a и корни. :

a (x – x 1 )(x – x 2)>0

3. Определяем интервалы на числовой прямой (корни уравнения делят числовую ось на интервалы):

4. Определяем «знаки» на интервалах (+ или –) путём подстановки произвольного значения «х» из каждого полученного интервала в выражение:

a (x – x 1 )(x – x 2)

и отмечаем их.

5. Остаётся лишь выписать интересующие нас интервалы, они отмечены:

— знаком «+», если в неравенстве стояло «>0» или «≥0».

— знаком «–», если в неравенстве было «<0» или «≤0».

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!!! Сами знаки в неравенстве могут быть:

строгими – это «>», «<» и нестрогими – это «≥», «≤».

Как это влияет на результат решения?

При строгих знаках неравенства границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение, при этом в ответе сам интервал записывается в виде (x 1 ; x 2 ) – скобки круглые.

При нестрогих знаках неравенства границы интервала ВХОДЯТ в решение, и ответ записывается в виде [x 1 ; x 2 ] – скобки квадратные.

*Это касается не только квадратных неравенств. Квадратная скобка означает, что сама граница интервала включена в решение.

На примерах вы это увидите. Давайте разберём несколько, чтобы снять все вопросы по этому поводу. В теории алгоритм может показаться несколько сложным, на самом деле всё просто.

ПРИМЕР 1: Решить x 2 – 60 x +500 ≤ 0

Решаем квадратное уравнение x 2 –60 x +500=0

D = b 2 –4 ac = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Находим корни:

Подставляем коэффициент a

x 2 –60 x +500 = (х–50)(х–10)

Записываем неравенство в виде (х–50)(х–10) ≤ 0

Корни уравнения делят числовую ось на интервалы. Покажем их на числовой прямой:

Мы получили три интервала (–∞;10), (10;50) и (50;+∞).

Определяем «знаки» на интервалах, делаем это путём подстановки в выражение (х–50)(х–10) произвольных значений их каждого полученного интервала и смотрим соответствие полученного «знака» знаку в неравенстве (х–50)(х–10) ≤ 0 :

при х=2 (х–50)(х–10) = 384 > 0 неверно

при х=20 (х–50)(х–10) = –300 < 0 верно

при х=60 (х–50)(х–10) = 500 > 0 неверно

Решением будет являться интервал .

При всех значениях х из этого интервала неравенство будет верным.

*Обратите внимание, что мы поставили квадратные скобки.

При х = 10 и х = 50 неравенство также будет верно, то есть границы входят в решение.

Ответ: x∊

Ещё раз:

— Границы интервала ВХОДЯТ в решение неравенства тогда, когда в условии стоит знак ≤ или ≥ (нестрогое неравенство). При этом на эскизе принято полученные корни отображать ЗАШТРИШОВАННЫМ кружком.

— Границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение неравенства тогда, когда в условии стоит знак < или > (строгое неравенство). При этом на эскизе принято корень отображать НЕЗАШТРИХОВАННЫМ кружком.

ПРИМЕР 2: Решить x 2 + 4 x –21 > 0

Решаем квадратное уравнение x 2 + 4 x –21 = 0

D = b 2 –4 ac = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Находим корни:

Подставляем коэффициент a и корни в формулу (2), получаем:

x 2 + 4 x –21 = (х–3)(х+7)

Записываем неравенство в виде (х–3)(х+7) > 0.

Корни уравнения делят числовую ось на интервалы. Отметим их на числовой прямой:

*Неравенство нестрогое, поэтому обозначения корней НЕзаштрихованы. Получили три интервала (–∞;–7), (–7;3) и (3;+∞).

Определяем «знаки» на интервалах, делаем это путём подстановки в выражение (х–3)(х+7) произвольных значений их этих интервалов и смотрим соответствие неравенству (х–3)(х+7)> 0 :

при х= –10 (–10–3)(–10 +7) = 39 > 0 верно

при х= 0 (0–3)(0 +7) = –21 < 0 неверно

при х=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 верно

Решением будут являться два интервала (–∞;–7) и (3;+∞). При всех значениях х из этих интервалов неравенство будет верным.

*Обратите внимание, что мы поставили круглые скобки. При х = 3 и х = –7 неравенство будет неверным – границы не входят в решение.

Ответ: x∊(–∞;–7) U (3;+∞)

ПРИМЕР 3: Решить – x 2 –9 x –20 > 0

Решаем квадратное уравнение – x 2 –9 x –20 = 0.

a = –1 b = –9 c = –20

D = b 2 –4 ac = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Находим корни:

Подставляем коэффициент a и корни в формулу (2), получаем:

– x 2 –9 x –20 =–(х–(–5))(х–(–4))= –(х+5)(х+4)

Записываем неравенство в виде –(х+5)(х+4) > 0.

Корни уравнения делят числовую ось на интервалы. Отметим на числовой прямой:

*Неравенство строгое, поэтому обозначения корней незаштрихованы. Получили три интервала (–∞;–5), (–5; –4) и (–4;+∞).

Определяем «знаки» на интервалах, делаем это путём подстановки в выражение –(х+5)(х+4) произвольных значений их этих интервалов и смотрим соответствие неравенству –(х+5)(х+4)>0 :

при х= –10 – (–10+5)(–10 +4) = –30 < 0 неверно

при х= –4,5 – (–4,5+5)(–4,5+4) = 0,25 > 0 верно

при х= 0 – (0+5)(0 +4) = –20 < 0 неверно

Решением будут являться интервал (–5;–4). При всех значениях «х» принадлежащих ему неравенство будет верным.

*Обратите внимание, что границы не входят в решение. При х = –5 и х = –4 неравенство будет неверным.

ЗАМЕЧАНИЕ!

При решении квадратного уравнения у нас может получится один корень или корней не будет вовсе, тогда при использовании данного метода вслепую могут возникнуть затруднения в определении решения.

Небольшой итог! Метод хорош и использовать его удобно, особенно если вы знакомы с квадратичной функцией и знаете свойства её графика. Если нет, то прошу ознакомиться, приступим к следующему разделу.

Использование графика квадратичной функции. Рекомендую!

Квадратичная это функция вида:

Её графиком является парабола, ветви параболы направлены вверх, либо вниз:

График может быть расположен следующим образом: может пересекать ось х в двух точках, может касаться её в одной точке (вершиной), может не пересекать. Об этом подробнее в дальнейшем.

Теперь рассмотрим этот подход на примере. Весь процесс решения состоит из трёх этапов. Решим неравенство x 2 +2 x –8 >0.

Первый этап

Решаем уравнение x 2 +2 x –8=0.

D = b 2 –4 ac = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Находим корни:

Получили х 1 =2 и х 2 = – 4.

Второй этап

Строим параболу у= x 2 +2 x –8 по точкам:

Точки – 4 и 2 это точки пересечения параболы и оси ох. Всё просто! Что сделали? Мы решили квадратное уравнение x 2 +2 x –8=0. Посмотрите его запись в таком виде:

0 = x 2 +2x – 8

Ноль у нас это значение «у». При у = 0, мы получаем абсциссы точек пересечения параболы с осью ох. Можно сказать, что нулевое значение «у» это есть ось ох.

Теперь посмотрите при каких значениях х выражение x 2 +2 x – 8 больше (или меньше) нуля? По графику параболы это определить несложно, как говорится, всё на виду:

1. При х < – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x 2 +2 x –8 будет положительным.

2. При –4 < х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x 2 +2 x –8 будет отрицательным.

3. При х > 2 ветвь параболы лежит выше оси ох. При указанных х трёхчлен x 2 +2 x –8 будет положительным.

Третий этап

По параболе нам сразу видно, при каких х выражение x 2 +2 x –8 больше нуля, равно нулю, меньше нуля. В этом заключается суть третьего этапа решения, а именно увидеть и определить положительные и отрицательные области на рисунке. Сопоставляем полученный результат с исходным неравенством и записываем ответ. В нашем примере необходимо определить все значения х при которых выражение x 2 +2 x –8 больше нуля. Мы это сделали во втором этапе.

Остаётся записать ответ.

Ответ: x∊(–∞;–4) U (2;∞).

Подведём итог: вычислив в первом шаге корни уравнения, мы можем отметить полученные точки на оси ох (это точки пересечения параболы с осью ох). Далее схематично строим параболу и уже можем увидеть решение. Почему схематично? Математически точный график нам не нужен. Да и представьте, например, если корни получатся 10 и 1500, попробуй-ка построй точный график на листе в клетку с таким разбегом значений. Возникает вопрос! Ну получили мы корни, ну отметили их на оси ох, а зарисовать расположение самой парабола – ветвями вверх или вниз? Тут всё просто! Коэффициент при х 2 вам подскажет:

— если он больше нуля, то ветви параболы направлены вверх.

— если меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз.

В нашем примере он равен единице, то есть положителен.

*Примечание! Если в неравенстве будет стоять знак нестрогий, то есть ≤ или ≥, то корни на числовой прямой следует заштриховать, этим условно обозначается, что сама граница интервала входит в решение неравенства. В данном случае корни не заштрихованы (выколоты), так как неравенство у нас строгое (стоит знак «>»). При чем в ответе, в данном случае, ставятся круглые скобки, а не квадратные (границы не входят в решение).

Написано много, кого-то запутал, наверное. Но если вы решите минимум 5 неравенств с использованием парабол, то восхищению вашему предела не будет. Всё просто!

Итак, кратко:

1. Записываем неравенство, приводим к стандартному.

2. Записываем квадратное уравнение и решаем его.

3. Рисуем ось ох, отмечаем полученные корни, схематично рисуем параболу, ветвями вверх, если коэффициент при х 2 положителен, или ветвями вниз, если он отрицателен.

4. Определяем визуально положительные или отрицательные области и записываем ответ по исходному неравенству.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1: Решить x 2 –15 x +50 > 0

Первый этап.

Решаем квадратное уравнение x 2 –15 x +50=0

D = b 2 –4 ac = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

Находим корни:

Второй этап.

Строим ось ох. Отмечем полученные корни. Так как неравенство у нас строгое, то заштриховывать их не будем. Схематично строим параболу, расположена она ветвями вверх, так как коэффициент при х 2 положительный:

Третий этап.

Определяем визуально положительные и отрицательные области, здесь мы их отметили разными цветами для наглядности, можно этого и не делать.

Записываем ответ.

Ответ: x∊(–∞;5) U (10;∞).

*Знак U обозначает объёдинение решение. Образно можно выразиться так, решением является «этот» И « ещё этот» интервал.

ПРИМЕР 2: Решить – x 2 + x +20 ≤ 0

Первый этап.

Решаем квадратное уравнение – x 2 + x +20=0

D = b 2 –4 ac = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Находим корни:

Второй этап.

Строим ось ох. Отмечем полученные корни. Так как неравенство у нас нестрогое, то заштрихуем обозначения корней. Схематично строим параболу, расположена она ветвями вниз, так как коэффициент при х 2 отрицательный (он равен –1):

Третий этап.

Определяем визуально положительные и отрицательные области. Сопоставляем с исходным неравенством (знак у нас ≤ 0). Неравенство будет верно при х ≤ – 4 и х ≥ 5.

Записываем ответ.

Ответ: x∊(–∞;–4] U ∪[ \frac{2}{3};∞)\)

Квадратные неравенства с отрицательным и равным нулю дискриминантом

Алгоритм выше работает, когда дискриминант больше нуля, то есть имеет \(2\) корня. Что делать в остальных случаях? Например, таких:

Если \(D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).

То есть, выражение:
\(x^2+2x+9\) – положительно при любых \(x\), т.к. \(a=1>0\)
\(-x^2-64\) - отрицательно при любых \(x\), т.к. \(a=-1<0\)

Если \(D=0\), то квадратный трехчлен при одном значении \(x\) равен нулю, а при всех остальных имеет постоянный знак, который совпадает со знаком коэффициента \(a\).

То есть, выражение:
\(x^2+6x+9\) - равно нулю при \(x=-3\) и положительно при всех остальных иксах, т.к. \(a=1>0\)
\(-x^2-4x-4\) - равно нулю при \(x=-2\) и отрицательно при всех остальных, т.к. \(a=-1<0\).

Как найти икс, при котором квадратный трехчлен равен нулю? Нужно решить соответствующее квадратное уравнение.

С учетом этой информации давайте решим квадратные неравенства: