Produsul numerelor complexe conjugate. Numere complexe și operații algebrice asupra lor

Luați în considerare o ecuație pătratică.

Să-i determinăm rădăcinile.

Nu există un număr real al cărui pătrat este -1. Dar dacă definim operatorul cu o formulă i ca unitate imaginară, atunci soluția acestei ecuații poate fi scrisă ca . În același timp Şi - numere complexe în care -1 este partea reală, 2 sau în al doilea caz -2 este partea imaginară. Partea imaginară este, de asemenea, un număr real. Partea imaginară înmulțită cu unitatea imaginară înseamnă deja număr imaginar.

În general, un număr complex are forma

z = x + iy ,

Unde x, y– numere reale, – unitate imaginară. Într-un număr de științe aplicate, de exemplu, în inginerie electrică, electronică, teoria semnalului, unitatea imaginară este notată cu j. Numerele reale x = Re(z)Şi y =Im(z) sunt numite părți reale și imaginare numere z. Expresia se numește forma algebrică scrierea unui număr complex.

Orice număr real este un caz special al unui număr complex în formă . Un număr imaginar este, de asemenea, un caz special al unui număr complex .

Definiția mulțimii numerelor complexe C

Această expresie se citește după cum urmează: set CU, constând din elemente astfel încât xŞi y aparțin mulțimii numerelor reale Rși este o unitate imaginară. Rețineți că etc.

Două numere complexe Şi sunt egale dacă și numai dacă părțile lor reale și imaginare sunt egale, i.e. Și .

Numerele și funcțiile complexe sunt utilizate pe scară largă în știință și tehnologie, în special în mecanică, analiza și calculul circuitelor de curent alternativ, electronica analogică, în teoria și procesarea semnalelor, în teoria controlului automat și în alte științe aplicate.

Aritmetica numerelor complexe

Adunarea a două numere complexe constă în adăugarea părților lor reale și imaginare, adică

În consecință, diferența a două numere complexe

Număr complex numit cuprinzător conjuga număr z =x+iy.

Numerele conjugate complexe z și z * diferă în semnele părții imaginare. Este evident că

Orice egalitate între expresii complexe rămâne valabilă dacă peste tot în această egalitate iînlocuiți cu - i, adică mergi la egalitatea numerelor conjugate. Numerele iŞi – i sunt algebric imposibil de distins, deoarece .

Produsul (înmulțirea) a două numere complexe poate fi calculat după cum urmează:

Împărțirea a două numere complexe:

Exemplu:

Plan complex

Un număr complex poate fi reprezentat grafic într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Să definim un sistem de coordonate dreptunghiular în plan (x, y).

Pe axa Bou vom plasa piesele reale x, se numește axa reală (reala)., pe axă Oi– părți imaginare y numere complexe. Se numește axa imaginară. În acest caz, fiecărui număr complex îi corespunde un anumit punct din plan și se numește un astfel de plan plan complex. Punct O planul complex va corespunde vectorului OA.

Număr x numit abscisă număr complex, număr y – ordonată.

O pereche de numere conjugate complexe este reprezentată de puncte situate simetric față de axa reală.

Dacă în avion ne-am pus sistemul de coordonate polare, apoi fiecare număr complex z determinat de coordonatele polare. În același timp modul numere este raza polară a punctului și unghiul - unghiul său polar sau argumentul numărului complex z.

Modulul unui număr complex întotdeauna nenegativ. Argumentul unui număr complex nu este determinat în mod unic. Valoarea principală a argumentului trebuie să satisfacă condiția . Fiecare punct al planului complex corespunde și valorii generale a argumentului. Argumentele care diferă cu un multiplu de 2π sunt considerate egale. Argumentul numărului zero este nedefinit.

Valoarea principală a argumentului este determinată de expresiile:

Este evident că

În același timp
, .

Reprezentarea numerelor complexe zîn formă

numit formă trigonometrică număr complex.

Exemplu.

Forma exponențială a numerelor complexe

Descompunerea în Seria Maclaurin pentru funcţiile argument reale are forma:

Pentru o funcție exponențială cu un argument complex z descompunerea este similară

Expansiunea seriei Maclaurin pentru funcția exponențială a argumentului imaginar poate fi reprezentată ca

Identitatea rezultată este numită formula lui Euler.

Pentru un argument negativ are forma

Combinând aceste expresii, puteți defini următoarele expresii pentru sinus și cosinus

Folosind formula lui Euler, din forma trigonometrică de reprezentare a numerelor complexe

pot fi obținute indicativ(exponențială, polară) formă a unui număr complex, adică reprezentarea ei în formă

Unde - coordonatele polare ale unui punct cu coordonate dreptunghiulare ( x,y).

Conjugatul unui număr complex se scrie în formă exponențială după cum urmează.

Pentru forma exponențială, este ușor să determinați următoarele formule pentru înmulțirea și împărțirea numerelor complexe

Adică, în formă exponențială, produsul și împărțirea numerelor complexe este mai simplă decât în formă algebrică. La înmulțire, modulele factorilor sunt înmulțite, iar argumentele sunt adăugate. Această regulă se aplică oricărui număr de factori. În special, la înmulțirea unui număr complex z pe i vector z se rotește în sens invers acelor de ceasornic 90

La împărțire, modulul numărătorului este împărțit la modulul numitorului, iar argumentul numitorului este scăzut din argumentul numărătorului.

Folosind forma exponențială a numerelor complexe, putem obține expresii pentru binecunoscutele identități trigonometrice. De exemplu, din identitate

folosind formula lui Euler putem scrie

Echivalând părțile reale și imaginare din această expresie, obținem expresii pentru cosinusul și sinusul sumei unghiurilor

Puterile, rădăcinile și logaritmii numerelor complexe

Ridicarea unui număr complex la o putere naturală n produs conform formulei

Exemplu. Să calculăm .

Să ne imaginăm un număr în formă trigonometrică

’

Aplicând formula de exponențiere, obținem

Punând valoarea în expresie r= 1, obținem așa-numitul formula lui Moivre, cu care puteți determina expresii pentru sinusurile și cosinusurile unghiurilor multiple.

Rădăcină n-a-a putere a unui număr complex z are n valori diferite determinate de expresie

Exemplu. Să-l găsim.

Pentru a face acest lucru, exprimăm numărul complex () în formă trigonometrică

Folosind formula pentru calcularea rădăcinii unui număr complex, obținem

Logaritmul unui număr complex z- acesta este numărul w, pentru care . Logaritmul natural al unui număr complex are un număr infinit de valori și se calculează prin formula

Constă dintr-o parte reală (cosinus) și imaginară (sinus). Această tensiune poate fi reprezentată ca un vector de lungime Hm, fază inițială (unghi), care se rotește cu viteza unghiulară ω .

Mai mult, dacă se adaugă funcții complexe, atunci se adaugă părțile lor reale și imaginare. Dacă o funcție complexă este înmulțită cu o funcție constantă sau reală, atunci părțile ei reale și imaginare sunt înmulțite cu același factor. Diferențierea/integrarea unei astfel de funcții complexe se rezumă la diferențierea/integrarea părților reale și imaginare.

De exemplu, diferențierea expresiei stresului complex

este să o înmulțim cu iω este partea reală a funcției f(z), și – parte imaginară a funcției. Exemple: .

Sens z este reprezentată de un punct în planul complex z și valoarea corespunzătoare w- un punct din planul complex w. Când este afișat w = f(z) linii plane z se transformă în linii plane w, figurile unui plan în figurile altuia, dar formele liniilor sau figurilor se pot schimba semnificativ.