წრე შემოხაზა სამკუთხედის გარშემო. წრე შემოხაზა სამკუთხედის გარშემო. წრეში ჩასმული სამკუთხედი. სინუსური თეორემა

შესვლის დონე

წრიული წრე. ვიზუალური სახელმძღვანელო (2019)

პირველი კითხვა, რომელიც შეიძლება წარმოიშვას: აღწერილი - რა გარშემო?

სინამდვილეში, ზოგჯერ ეს ყველაფერი ხდება, მაგრამ ჩვენ ვისაუბრებთ გარშემო წრიული წრის შესახებ (ზოგჯერ ისინი ასევე ამბობენ "შესახებ") სამკუთხედს. რა არის ეს?

ახლა კი წარმოიდგინეთ საოცარი ფაქტი:

რატომ არის გასაოცარი ეს ფაქტი?

მაგრამ სამკუთხედები განსხვავებულია!

და ყველასთვის არის წრე, რომელიც გაივლის სამივე მწვერვალის მეშვეობით, ე.ი. წრიული წრე.

ამ საოცარი ფაქტის მტკიცებულება შეგიძლიათ იხილოთ თეორიის შემდეგ დონეზე, მაგრამ აქ მხოლოდ აღვნიშნავთ, რომ თუ მაგალითად, ოთხკუთხედს ავიღებთ, მაშინ აღარ არის ის წრე, რომელიც გადის ოთხ ვერტიკალში. ვთქვათ, პარალელოგრამი არის შესანიშნავი ოთხკუთხედი, მაგრამ არ არსებობს წრე, რომელიც გადის მის ოთხივე ვერტიკში.

და მხოლოდ მართკუთხედი არსებობს:

კარგად აქ და ყველა სამკუთხედს ყოველთვის აქვს თავისი წრეებით მოცული წრე!   და ყოველთვის ადვილია ამ წრის ცენტრის პოვნა.

იცი რა არის შუა პერპენდიკულური?

ახლა ვნახოთ, რა მოხდება, თუ სამკუთხედის გვერდებზე სამი მთლიანი შუა პერპენდიკულური შევხედავთ.

გამოდის (და ეს უბრალოდ უნდა დავამტკიცოთ, თუმც ჩვენ არ გამოვდგება)   სამივე პერპენდიკულარი ერთ წერტილში კვეთს.   შეხედეთ ფიგურას - სამივე შუა პერპენდიკულარი კვეთს ერთ წერტილში.

როგორ ფიქრობთ, რომ წრიული წრის ცენტრი ყოველთვის სამკუთხედის შიგნით დევს? წარმოიდგინე - არა ყოველთვის!

მაგრამ თუ   მწვავე-დახრილი, შემდეგ - შიგნით:

რა უნდა გავაკეთოთ სწორ სამკუთხედთან?

დიახ, დამატებითი ბონუსით:

ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ მიმოფანტული წრის რადიუსზე: რას უდრის ეს თვითნებური სამკუთხედი? და ამ კითხვაზე პასუხი არსებობს: ე.წ.

კერძოდ:

კარგად და რა თქმა უნდა

1. წრიული წრის არსებობა და ცენტრი

შემდეგ ჩნდება კითხვა: არსებობს თუ არა ასეთი წრე რაიმე სამკუთხედისთვის? გამოდის, რომ, ყველასთვის. და უფრო მეტიც, ჩვენ ახლა ჩამოვყალიბდებით თეორემა, რომელიც ასევე პასუხობს კითხვას, თუ სად არის მოქცეული წრის ცენტრი.

ასე გამოიყურება:

მივიღოთ გამბედაობა და დავამტკიცოთ ეს თეორემა. თუ თქვენ უკვე წაიკითხეთ თემა "", მიხვდით, რატომ კვეთენ სამი ბისექტორი ერთ მომენტში, მაშინ ეს უფრო ადვილი იქნება თქვენთვის, მაგრამ თუ არ წაიკითხეთ, არ ინერვიულოთ: ახლა ჩვენ გაერკვნენ.

მტკიცებულება განხორციელდება წერტილების გეომეტრიული ადგილის კონცეფციის გამოყენებით (МТТ).

მაგალითად, უამრავი ბურთი არის "გეომეტრიული ადგილი" მრგვალი ობიექტებისთვის? არა, რა თქმა უნდა, რადგან არის მრგვალი ... საზამთრო. არის უამრავი ადამიანი, "გეომეტრიული ადგილი", ვისაც შეუძლია ლაპარაკი? არა, რადგან არის ჩვილები, რომელთაც არ შეუძლიათ ლაპარაკი. ზოგადად, ცხოვრებაში ძნელია იპოვოთ ნამდვილი „წერტილების გეომეტრიული ადგილი“. გეომეტრიაში უფრო ადვილია. მაგალითად, აქ არის ის, რაც გვჭირდება:

აქ ნაკრები არის შუა პერპენდიკულური, ხოლო საკუთრება "" არის "ტოლი იყოს ტოტის ტოტის ბოლოდან."

შეამოწმე? ასე რომ, თქვენ უნდა დარწმუნდეთ ორ რამეში:

1. ნებისმიერი წერტილი, რომელიც ტოლფასია სეგმენტის ბოლოებიდან, მდებარეობს მის შუა ნაწილზე პერპენდიკულურად.

დააკავშირეთ და C. შემდეგ ხაზი არის საშუალო და სიმაღლე. ასე რომ, - იზოშელები - დარწმუნდით, რომ შუა წერტილზე მდებარე პერპენდიკულურზე ნებისმიერი წერტილი თანაბრად არის დაშორებული წერტილებიდან და.

წაიღეთ შუა და დააკავშირეთ და. შედეგი იყო მედიანა. მაგრამ - პირობის თანახმად, იზოსკლები არა მხოლოდ საშუალო, არამედ სიმაღლეც, ანუ საშუალო პერპენდიკულური. ასე რომ, წერტილი - ზუსტად მდგომარეობს შუა პერპენდიკულარზე.

ეს ყველაფერია! სრულად გადაამოწმა ის ფაქტი სეგმენტის შუა პერპენდიკულური არის სეგმენტის ბოლოებიდან ტოლი ტოლი წერტილების გეომეტრიული ადგილი.

ეს ყველაფერი კარგია, მაგრამ დავივიწყეთ დაბეჭდილი წრის შესახებ? არა, ჩვენ უბრალოდ მოვამზადეთ საკუთარი თავი "თავდასხმის პლაცდარმი".

განვიხილოთ სამკუთხედი. დახაზეთ ორი შუა პერპენდიკულატორი და, ვთქვათ, სეგმენტებზე და. ისინი კვეთენ გარკვეულ მომენტში, რომელსაც ჩვენ დავურეკავთ.

ახლა კი, ყურადღება!

წერტილი მდგომარეობს შუა პერპენდიკულარზე;
  წერტილი მდგომარეობს შუა პერპენდიკულარზე.
  ეს ნიშნავს და.

აქედან ერთდროულად რამდენიმე რამ მოჰყვა:

პირველ რიგში, წერტილი უნდა იყოს მოთავსებული სეგმენტის მესამე შუა პერპენდიკულურად.

ანუ, შუა პერპენდიკულური ასევე საჭიროა წერტილის გასწვრივ, ხოლო სამივე შუა პერპენდიკულარი ერთ წერტილში კვეთს.

მეორეც: თუ ჩვენ დავხაზავთ წრეს, რომელიც ორიენტირებულია წერტილზე და რადიუსზე, მაშინ ეს წრე ასევე გაივლის წერტილს და წერტილის გავლით, ანუ ის გახდება წრიული წრე. ამრიგად, უკვე არსებობს, რომ სამი შუა პერპენდიკულარის კვეთა არის კვარცხლბეკიანი წრის ცენტრი ნებისმიერი სამკუთხედისთვის.

და ბოლო: უნიკალურობის შესახებ. გასაგებია (თითქმის), რომ წერტილის მიღება უნიკალური გზით შეიძლება, შესაბამისად, წრე ასევე უნიკალურია. კარგად, "თითქმის" - მოდით, მოდით, რომ თქვენ იფიქროთ. ამან დაადასტურა თეორემა. შეგიძლიათ დაიყვიროთ "Hurray!".

და თუ პრობლემაა "მოძებნეთ წრიული წრის რადიუსი"? ან პირიქით, სხივი ენიჭება, მაგრამ საჭიროა რამე სხვა რამის პოვნა? არსებობს ფორმულა, რომელიც აკავშირებს წრიული წრის სხივს სამკუთხედის სხვა ელემენტებთან?

ყურადღება მიაქციეთ: ამას სინუსური ამბობს იმისათვის, რომ იპოვოთ წრიული წრის სხივი, საჭიროა ერთი მხარე (ნებისმიერი!) და საპირისპირო კუთხე. ეს არის ის!

3. წრის ცენტრი - შიგნით ან მის გარეთ

ახლა კი ისმის კითხვა: შეიძლება თუ არა სამკუთხედის წრის ცენტრში მოთავსება სამკუთხედი.
  პასუხი: როგორც კი შეუძლია. უფრო მეტიც, ეს ყოველთვის ხდება დატვირთული სამკუთხედის დროს.

და ზოგადად:

ცირკის აღწერა. შეცდომა ძირითადი

1. სამკუთხედის მახლობლად აღწერილი წრე

ეს არის წრე, რომელიც გადის ამ სამკუთხედის სამივე ვერტიკალში.

2. წრიული წრის არსებობა და ცენტრი

ისე დასრულდა თემა. თუ ამ სტრიქონებს წაიკითხავთ, მაშინ ძალიან მაგარი ხართ.

იმის გამო, რომ ადამიანების მხოლოდ 5% -ს შეუძლია დაეუფლოს რაღაცას. და თუ ბოლომდე წაიკითხავთ, მაშინ მოხვდით ამ 5% -ში!

ახლა ყველაზე მნიშვნელოვანი რამ.

თქვენ გაითვალისწინეთ თეორია ამ თემაზე. და ისევ, ეს ... ეს უბრალოდ სუპერა! თქვენ უკვე უკეთესი ხართ, ვიდრე თქვენი თანატოლების დიდი უმრავლესობა.

პრობლემა ის არის, რომ ეს შეიძლება არ იყოს საკმარისი ...

რისთვის?

გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის, ბიუჯეტში ინსტიტუტში მისასვლელად და, ყველაზე მნიშვნელოვანი, სიცოცხლისთვის.

არაფერში არ დაგიჯერებ, უბრალოდ ერთი რამე გეტყვი ...

ადამიანები, ვინც კარგ განათლებას იღებენ, გაცილებით მეტს იღებენ, ვიდრე მათ, ვინც არ მოხდა. ეს არის სტატისტიკა.

მაგრამ ეს არ არის მთავარი.

მთავარია, რომ ისინი უფრო ბედნიერები არიან (არსებობს ასეთი გამოკვლევები). ალბათ იმიტომ, რომ ისინი გაცილებით მეტ შესაძლებლობებს ხსნიან და ცხოვრება უფრო გაბრწყინდება? არ ვიცი ...

მაგრამ, იფიქრე საკუთარი თავისთვის ...

რა არის საჭირო, რომ სხვებზე უკეთ იყოს გამოყენებული USE– ში და საბოლოოდ რომ იყოს… ბედნიერი?

სცემეს თქვენი ხელი, პრობლემების მოგვარება ამ თემასთან დაკავშირებით.

გამოცდაზე არ მოგეთხოვებათ თეორია.

დაგჭირდებათ ამოცანების დროულად გადაჭრა.

და თუ მათ არ მოაგვარებთ (ბევრი რამ!), დარწმუნებული იქნებით, რომ შეცვალოთ სულელური შეცდომა სადმე, ან უბრალოდ დრო არ გქონდეთ.

ეს არის სპორტის სახეობებში - ნამდვილად უნდა გაიმეორო რამდენჯერმე, რომ გაიმარჯვო.

იპოვნეთ სადაც გსურთ კოლექცია, აუცილებელია გადაწყვეტილებებით, დეტალური ანალიზი   და გადაწყვიტეთ, გადაწყვიტეთ, გადაწყვიტეთ!

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი დავალებები (არ არის აუცილებელი) და რა თქმა უნდა მათ გირჩევთ.

იმისათვის, რომ ჩვენი ამოცანის დახმარებით შეავსოთ ხელი, თქვენ უნდა დაეხმაროთ YouClever სახელმძღვანელოს სიცოცხლის გახანგრძლივებას, რომელსაც ახლა კითხულობთ.

როგორ? არსებობს ორი ვარიანტი:

1. გახსენით ყველა სტატიაში დამალული დავალება - 299 რუბლს შეადგენს
2. სახელმძღვანელოს ყველა 99 სტატიაში გახსნა ყველა ფარული დავალება - 999 რუბლს შეადგენს

დიახ, სახელმძღვანელოში გვაქვს 99 ასეთი სტატია და თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გახსნათ ყველა დავალება და ყველა მათგან დამალული ტექსტი.

მეორე შემთხვევაში მოგცემთ   სიმულატორი "6000 დავალებები გადაწყვეტილებებითა და პასუხებით, თითოეული თემისთვის, სირთულის ყველა დონისთვის." ეს საკმარისი იქნება იმისთვის, რომ ხელი შეგიშალოთ ნებისმიერი თემის პრობლემების გადაჭრაში.

სინამდვილეში, ეს გაცილებით მეტია ვიდრე უბრალოდ სიმულატორი - მთელი სასწავლო პროგრამა. საჭიროების შემთხვევაში, ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგი უფასოდ.

ყველა ტექსტსა და პროგრამაზე წვდომა მოცემულია საიტის არსებობის ნებისმიერ დროს.

დასკვნის სახით ...

თუ არ მოგწონთ ჩვენი ამოცანები, იპოვნეთ სხვები. უბრალოდ ნუ ჩერდებით თეორიაში.

„მესმის“ და „მე შემიძლია გადავწყვიტე“ სრულიად განსხვავებული ცოდნაა. თქვენ ორივე გჭირდებათ.

იპოვნეთ დავალებები და გადაჭრით!

როგორ მოვძებნოთ წრის რადიუსი? ეს კითხვა ყოველთვის აქტუალურია სტუდენტებისთვის, რომლებიც სწავლობენ პლანეტრია. ქვემოთ განვიხილავთ რამდენიმე მაგალითს, თუ როგორ უნდა გავუმკლავდეთ დავალებას.

პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, წრის სხივი შეგიძლიათ იხილოთ შემდეგში.

ფორმულა 1: R \u003d L / 2π, სადაც L არის და π არის მუდმივი ტოლია 3.141 ...

ფორმულა 2: R \u003d √ (S / π), სადაც S არის წრის ფართობის ზომა.

ფორმულა 1: R \u003d B / 2, სადაც B არის ჰიპოტენუზა.

ფორმულა 2: R \u003d M * B, სადაც B არის ჰიპოტენუზა, ხოლო M არის მასზე მიზიდული მედიანა.

როგორ მოვძებნოთ წრის სხივი, თუ იგი აღწერილია რეგულარული მრავალკუთხედის გარშემო

ფორმულა: R \u003d A / (2 * ცოდვა (360 / (2 * n))), სადაც A არის ფიგურის ერთ-ერთი მხარის სიგრძე, და n არის ამ გეომეტრიული ფიგურის მხარეების რაოდენობა.

როგორ მოვძებნოთ წარწერა წრის სხივი

წარწერას წრე ეწოდება, როდესაც ის ეხება პოლიგონის ყველა მხარეს. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

ფორმულა 1: R \u003d S / (P / 2), სადაც - S და P, შესაბამისად, ფიგურის არეალი და პერიმეტრია.

ფორმულა 2: R \u003d (P / 2 - A) * tg (a / 2), სადაც P არის პერიმეტრი, A არის ერთი მხარის სიგრძე და ამ მხარის საპირისპიროა.

როგორ მოვძებნოთ წრის სხივი, თუ ის სწორი წარწერაა სამკუთხედში

ფორმულა 1:

წრფის რადიუსი, რომელიც წარწერულია რომბში

წრე შეიძლება შეიტანოს ნებისმიერ რომბში, როგორც ცალმხრივ, ისე არა-ტოლერანტულად.

ფორმულა 1: R \u003d 2 * H, სადაც H არის გეომეტრიული ფიგურის სიმაღლე.

ფორმულა 2: R \u003d S / (A * 2), სადაც S არის a და A მისი მხარის სიგრძეა.

ფორმულა 3: R \u003d √ ((S * sin A) / 4), სადაც S არის რომბის ფართობი, და ცოდვა A არის მოცემული გეომეტრიული ფიგურის მწვავე კუთხის სინუსი.

ფორმულა 4: R \u003d В * Г / (√ (В² + Г²), სადაც В და Г არის გეომეტრიული ფიგურის დიაგონალების სიგრძე.

ფორმულა 5: R \u003d B * ცოდვა (A / 2), სადაც B არის რომბის დიაგონალი, და A არის კუთხე დიაგონალთან დამაკავშირებელ ვერტიკალებში.

სამკუთხედში ჩასმული წრის რადიუსი

იმ შემთხვევაში, თუ პრობლემის შემთხვევაში თქვენ გეძლევათ ფიგურის ყველა მხარის სიგრძე, შემდეგ გამოთვალეთ (P), შემდეგ კი ნახევრად პერიმეტრი (პ):

P \u003d A + B + C, სადაც A, B, C არის გეომეტრიული ფიგურის მხარეების სიგრძე.

ფორმულა 1: R \u003d √ ((p-A) * (p-B) * (p-B) / პ).

და თუ სამივე მხარეს იგივე იცით, ასევე მოგეცემათ ისეთი, რომ შეგიძლიათ გამოთვალოთ სასურველი სხივი შემდეგნაირად.

ფორმულა 2: R \u003d S * 2 (A + B + C)

ფორმულა 3: R \u003d S / n \u003d S / (A + B + C) / 2), სადაც - n არის გეომეტრიული ფიგურის ნახევრად პერიმეტრი.

ფორმულა 4: R \u003d (n - A) * tg (A / 2), სადაც n არის სამკუთხედის ნახევარგამტარი, A არის მისი ერთ – ერთი მხარე, ხოლო tg (A / 2) არის ამ მხარის საპირისპიროდ კუთხის ნახევრის tangent.

და ქვემოთ მოცემული ფორმულა დაგეხმარებათ იპოვოთ წრის სხივი, რომელშიც ჩაწერილია

ფორმულა 5: R \u003d A * √3 / 6.

მარჯვენა სამკუთხედში ჩასმული წრის რადიუსი

თუ პრობლემებში მოცემულია ფეხების სიგრძე, ისევე როგორც ჰიპოტენუზი, მაშინ წარწერის წრის სხივი აღიარებულია შემდეგნაირად.

ფორმულა 1: R \u003d (A + B-C) \u200b\u200b/ 2, სადაც A, B - ფეხები, C - ჰიპოტენუზა.

იმ შემთხვევაში, თუ თქვენ მოგეცემათ მხოლოდ ორი ფეხი, დროა გაიხსენოთ პითაგორელთა თეორემა, რათა იპოვნოთ და გამოიყენოთ ჰიპოტენუზის ზემოთ მოყვანილი ფორმულა.

C \u003d √ (A² + B²).

მოედანზე გამოსახული წრის რადიუსი

წრე, რომელიც მოთავსებულია კვადრატში, თავის ყველა 4 მხარეს ნაწილებად ყოფს ზუსტად ნახევარში, მანდარინის წერტილებში.

ფორმულა 1: R \u003d A / 2, სადაც A არის კვადრატის გვერდის სიგრძე.

ფორმულა 2: R \u003d S / (P / 2), სადაც S და P შესაბამისად არის მოედნის ფართობი და პერიმეტრი.

თემა "წარწერები და წრეების წრეები სამკუთხედებში" არის ყველაზე რთული გეომეტრიის მსვლელობისას. გაკვეთილებში მას ძალიან ცოტა დრო ეძლევა.

ამ თემის გეომეტრიული ამოცანები შედის საგამოცდო ფურცლის მეორე ნაწილში საშუალო სკოლის კურსისთვის. ამ ამოცანების წარმატებით დასრულებას მოითხოვს ძირითადი გეომეტრიული ფაქტების კარგი ცოდნა და გეომეტრიული პრობლემების გადაჭრის გარკვეული გამოცდილება.
თითოეული სამკუთხედისთვის მხოლოდ ერთი წრეა დაბმული. ეს არის ის წრე, რომელზედაც მოცემულია პარამეტრებით სამკუთხედის სამივე ვერტიკალი. შეიძლება საჭირო გახდეს მისი სხივის პოვნა არა მხოლოდ გეომეტრიის გაკვეთილზე. დიზაინერები, საჭრელები, საკეტები და მრავალი სხვა პროფესიის წარმომადგენლები ამ საკითხს მუდმივად უნდა გაუმკლავდნენ. იმისათვის, რომ იპოვოთ მისი სხივი, აუცილებელია იცოდეთ სამკუთხედის პარამეტრები და მისი თვისებები. მოქცეული წრის ცენტრი სამკუთხედის შუა პერპენდიკულარების კვეთაზე მდებარეობს.
  თქვენს ყურადღებას ვაქცევ ყველა ჩამოთვლილ ფორმას, რომელიც ვერტიკალურად არის აღწერილი წრის სხივი და არა მხოლოდ სამკუთხედი. ჩაწერილი წრის ფორმულების ნახვა შეგიძლიათ.

ა, ბ. ს -სამკუთხედის მხარე

α - საპირისპირო კუთხე   ა,
S -სამკუთხედის არე,

გვ -ნახევარი პერიმეტრი.

შემდეგ, იპოვოთ სხივი ( რ) დაბეჭდილი წრის გამოყენებით გამოიყენეთ ფორმულები:

თავის მხრივ, სამკუთხედის ფართობი შეიძლება გამოითვალოს შემდეგი ფორმულების გამოყენებით:

და აქ კიდევ რამდენიმე ფორმულა.

1. წრიული წრის სხივი ჩვეულებრივი სამკუთხედის მახლობლად. თუ ა   სამკუთხედის მხარე მაშინ

2. იზოსცელების სამკუთხედის გარშემო წრიული წრის რადიუსი. დაე ა, ბ   სამკუთხედის მხარეებია

  სეგმენტის შუა პერპენდიკულური

განმარტება 1. სეგმენტის შუა პერპენდიკულური   მათ უწოდებენ მას ამ სეგმენტის პერპენდიკულარულ ხაზს და გადის მის შუაზე (სურ. 1).

თეორემა 1 სეგმენტის შუა პერპენდიკულარული თითოეული წერტილი არის ბოლოებიდან იმავე მანძილზე   ეს სეგმენტი.

მტკიცებულება. განვიხილოთ თვითნებური წერტილი D, რომელიც მდებარეობს შუა პერპენდიკულურად AB სეგმენტზე (ნახ. 2) და დაამტკიცეთ, რომ სამკუთხედები ADC და BDC ტოლია.

მართლაც, ეს სამკუთხედები არის სწორკუთხა სამკუთხედები, რომლებშიც AC და BC– ის ფეხები თანაბარია და DC– ის ფეხი საერთოა. სამკუთხედების თანაბარი ADC და BDC გულისხმობს AD და DB სეგმენტების თანასწორობას. თეორემა 1 დამტკიცებულია.

თეორემა 2 (ინვერსიული თეორემა 1). თუ წერტილი სეგმენტის ბოლოებიდან ერთსა და იმავე მანძილზეა, მაშინ იგი მდებარეობს ამ სეგმენტის შუა პერპენდიკულარზე.

მტკიცებულება. მოდით დავამტკიცოთ თეორემა 2 "წინააღმდეგობებით" მეთოდის გამოყენებით. ამ მიზნით, დავუშვათ, რომ რაღაც წერტილი E არის იმავე დაშორებით სეგმენტის ბოლოებიდან, მაგრამ არ დევს ამ სეგმენტის შუა პერპენდიკულარზე. ჩვენ ამ ვარაუდს მივყავართ წინააღმდეგობაში. ჩვენ პირველ რიგში განვიხილავთ შემთხვევას, როდესაც წერტილები E და A სხვადასხვა მხარეზე მდებარეობს შუა პერპენდიკულურიდან (ნახ. 3). ამ შემთხვევაში, სეგმენტი EA გარკვეულ მომენტში კვეთს შუა პერპენდიკულარას, რომელსაც ჩვენ ასოზე ვანიჭებთ.

მოდით დავამტკიცოთ, რომ სეგმენტი AE უფრო გრძელია ვიდრე სეგმენტი EB. მართლაც

ამრიგად, იმ შემთხვევაში, როდესაც წერტილები E და A სხვადასხვა მხარეზე მდებარეობს შუა პერპენდიკულურიდან, ჩვენ მივიღეთ წინააღმდეგობა.

ახლა განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც E და A წერტილები შუა პერპენდიკულარის ერთ მხარეს დევს (ნახ. 4). მოდით დავამტკიცოთ, რომ სეგმენტი EB უფრო გრძელია ვიდრე სეგმენტი AE. მართლაც

ეს წინააღმდეგობა ავსებს თეორემა 2-ის დადასტურებას

  წრე შემოხაზა სამკუთხედის გარშემო

განმარტება 2. სამკუთხედის მახლობლად აღწერილი წრე, ეწოდება წრეს, რომელიც გადის სამკუთხედის სამივე ვერტიკალში (სურ. 5). ამ შემთხვევაში სამკუთხედს უწოდებენ სამკუთხედში ჩასმული წრე   ან წარწერა სამკუთხედი.

  სამკუთხედის წრის გარშემო აღწერილი თვისებები. სინუსური თეორემა

ფიგურა	ნახატი	საკუთრება
შუა პერპენდიკულარი სამკუთხედის მხარეს		კვეთა ერთ წერტილში .
ცენტრი   მიმოფანტულია წრის მწვავე-დახრილი სამკუთხედის გარშემო		ცენტრის აღწერილობა მწვავე კუთხე შიგნით   სამკუთხედი.
ცენტრი   აღწერილი წრის მარჯვენა სამკუთხედის გარშემო		ცენტრის აღწერილობა მართკუთხა შუა ჰიპოტენუზა .
ცენტრი   მიმოფანტული წრის თხრიანი სამკუთხედის გარშემო		ცენტრის აღწერილობა მგრძნობიარე   წრის სამკუთხედი დევს გარეთ   სამკუთხედი.
		,
ფართობი   სამკუთხედი		S \u003d2რ   2 ცოდვა ა   ცოდვა ბ   ცოდვა გ ,
წრის სხივი		ნებისმიერი სამკუთხედისთვის, თანასწორობა

სამკუთხედის მხარეების შუა პერპენდიკულარი

ყველა შუა პერპენდიკულარი შედგენილია თვითნებური სამკუთხედის მხარეებზე, კვეთა ერთ წერტილში .

წრე შემოხაზა სამკუთხედის გარშემო

წრე შეიძლება აღწერილიყო ნებისმიერი სამკუთხედის გარშემო. . სამკუთხედის გარშემო მიმოფანტული წრის ცენტრი არის წერტილი, რომელზეც სამკუთხედის გვერდებზე დახრილი ყველა შუა პერპენდიკულურია.

წრის ცენტრი გარშემოწერილია მწვავე-სამკუთხედ სამკუთხედთან ახლოს

ცენტრის აღწერილობა მწვავე კუთხე   წრის სამკუთხედი დევს შიგნით   სამკუთხედი.

წრის ცენტრი, რომელიც მიმოქცეულია მარჯვენა სამკუთხედის გარშემო

ცენტრის აღწერილობა მართკუთხა   წრის სამკუთხედი არის შუა ჰიპოტენუზა .

წრის ცენტრი, რომელიც მიმოწერილია თხელი სამკუთხედის შესახებ

ცენტრის აღწერილობა მგრძნობიარე   წრის სამკუთხედი დევს გარეთ   სამკუთხედი.

ნებისმიერი სამკუთხედისთვის ნამდვილია თანასწორობა (სინუსური თეორემა): , სადაც a, b, c არის სამკუთხედის მხარეები, A, B, C არის სამკუთხედის კუთხე, R არის წრიული წრის სხივი.

სამკუთხედის ფართობი

ნებისმიერი სამკუთხედისთვის, თანასწორობა S \u003d2რ   2 ცოდვა ა   ცოდვა ბ   ცოდვა გ , სადაც A, B, C სამკუთხედის კუთხეა, S არის სამკუთხედის ფართობი, R არის წრიული წრის სხივი.

წრის სხივი

ნებისმიერი სამკუთხედისთვის, თანასწორობა სადაც a, b, c არის სამკუთხედის მხარეები, S არის სამკუთხედის ფართობი, R არის წრიული წრის სხივი.

  სამკუთხედის გარშემო წრიული წრის თვისებების შესახებ თეორემების დადასტურება

თეორემა 3 ყველა შუა პერპენდიკულარი, რომელიც შედგენილია თვითნებური სამკუთხედის გვერდებზე, კვეთს ერთ წერტილში.

მტკიცებულება. განვიხილოთ სამკუთხედის ABC- ის გვერდებზე დახრილი ორი შუა პერპენდიკულარი და მიუთითეთ მათი კვეთა წერტილი O ასოებით (ნახ. 6).

ვინაიდან წერტილი O მდებარეობს სეგმენტის AC შუა პერპენდიკულარზე, თეორემა 1 – ის შესაბამისად, თანასწორობა

მას შემდეგ, რაც წერტილი O მდებარეობს სეგმენტის AB შუა პერპენდიკულურად, თეორემა 1 – ის თანახმად, თანასწორობა შეიცავს:

მაშასადამე, თანასწორობა

აქედან გამომდინარე, თეორემა 2-ის გამოყენებით, დავასკვნათ, რომ წერტილი O ეყრდნობა ძვ. ამრიგად, სამივე შუა პერპენდიკულარი გადის იმავე წერტილში, საჭიროებისამებრ.

შედეგები წრე შეიძლება აღწერილიყო ნებისმიერი სამკუთხედის გარშემო. . სამკუთხედის გარშემო მიმოფანტული წრის ცენტრი არის წერტილი, რომელზეც სამკუთხედის გვერდებზე დახრილი ყველა შუა პერპენდიკულურია.

მტკიცებულება. განვიხილოთ წერტილი O, რომლითაც სამკუთხედის ABC კვეთაზე დახრილი ყველა შუა პერპენდიკულურია (ნახ. 6).

თეორემის მე -3 მტკიცებულებაში მოიპოვა შემდეგი თანასწორობა:

აქედან გამომდინარეობს, რომ წრე, რომელსაც აქვს O წერტილის ცენტრში და რადიუსის OA, OB, OC, სამკუთხედის ABC სამივე ვერტიკალზე გადის, საჭიროების შემთხვევაში.

დაგჭირდებათ

• სამკუთხედის წინასწარ პარამეტრებით
• კომპასი
• მმართველი
• მოედანი
• სუფრების სინუსები და კოსინები
• მათემატიკური ცნებები
• სამკუთხედის სიმაღლის განსაზღვრა
• სინუსების და კოსინუსის ფორმულები
• სამკუთხედის კვადრატის ფორმულა

ინსტრუქციის სახელმძღვანელო

დახაზეთ სამკუთხედი სასურველი პარამეტრებით. სამკუთხედი არის სამი მხრიდან, ან ორი მხრიდან და მათ შორისაა კუთხე, ან მის გვერდით და მის გარშემო ორი კუთხეა. დაასახელეთ სამკუთხედის ვერტიკალები, როგორც A, B და C, კუთხეები, როგორც α, β და γ, და vertices მოპირდაპირე მხარეები კუთხის კუთხით, როგორც a, b და c.

გადაატრიალეთ სამკუთხედის ყველა მხარეს და იპოვნეთ კვეთა. მონიშნეთ სიმაღლეები h- ზე შესაბამისი გვერდითი მაჩვენებლებით. იპოვნეთ მათი გადაკვეთის წერტილი და დაასახელეთ იგი O. ეს იქნება წრის ცენტრი. ამრიგად, ამ წრის სხივი იქნება სეგმენტები OA, OB და OS.

სხივი გვხვდება ორი ფორმულის საშუალებით. ერთი, თქვენ უნდა გამოთვალოთ პირველი. სამკუთხედის ყველა მხარეს ტოლია ნებისმიერი კუთხის სინუსის მიერ 2 – ზე დაყოფილი.

ამ შემთხვევაში, წრიული წრის სხივი გამოითვლება ფორმულით

მეორესათვის, ერთი მხარის სიგრძე და საპირისპირო კუთხის სინუსი საკმარისია.

გამოთვალეთ რადიუსი და აღწერეთ სამკუთხედის წრე.

სასარგებლო რჩევა

დაიმახსოვრე რა არის სამკუთხედის სიმაღლე. ეს არის პერპენდიკულური დახაზული კუთხიდან საპირისპირო მხარეს.

სამკუთხედის ფართობი ასევე შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც ერთ – ერთი მხარის კვადრატისა და ორი მიმდებარე კუთხის სინუსების პროდუქტი, რომელიც დაყოფილია ამ კუთხეების თანხის გაორმაგებული სინუსით.
S \u003d a2 * sinβ * sinγ / 2sinγ

წყაროები:

• მაგიდა მოთავსებული წრის რადიუსით
• ტოლი, რომელიც აღწერილია წიაღში, ახლოს

იგი ითვლება მიმოქცევაში, რომელიც მრავალკუთხედის გარშემოა, თუ ის შეეხო მთელ მის ვერტიკებს. რაც საყურადღებოა, ანალოგიური ცენტრია წრეები   ემთხვევა მრავალკუთხედის მხარეების მხარის წერტილებიდან შედგენილი პერპენდიკულარების კვეთა. რადიუსი   აღწერილი წრეები   მთლიანად დამოკიდებულია იმ მრავალკუთხედზე, რომლის გარშემოც იგი აღწერილია.

დაგჭირდებათ

• იცოდეთ პოლიგონის მხარეები, მისი არეალი / პერიმეტრი.

ინსტრუქციის სახელმძღვანელო

ყურადღება მიაქციეთ

მრავალკუთხედის გარშემო წრე შეიძლება აღწერილი იყოს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის რეგულარულია, ე.ი. მისი ყველა მხარე ტოლია და ყველა მისი კუთხე ტოლია.
თეზისი იმის შესახებ, რომ პოლიგონის გარშემო მიმოფანტული წრის ცენტრი არის მისი შუა პერპენდიკულარის კვეთა, მოქმედებს ყველა რეგულარული პოლიგონისთვის.

წყაროები:

• როგორ მოვძებნოთ პოლიგონის სხივი

თუ შესაძლებელია მრავალწახნაგოვანი წრის აგება პოლიგონისთვის, მაშინ ამ მრავალკუთხედის ფართობი უფრო ნაკლებია, ვიდრე წრიული წრის ფართობი, მაგრამ უფრო დიდია, ვიდრე წარწერის წრე. ზოგიერთი მრავალკუთხედისათვის, ფორმულის მოძებნა რადიუსი   წარწერები და წრეები.

ინსტრუქციის სახელმძღვანელო

მრავალკუთხედში ჩასმული წრე, რომელიც ეხება პოლიგონის ყველა მხარეს. სამკუთხედისთვის რადიუსი   წრეები: r \u003d ((p-a) (p-b) (p-c) / p) ^ 1/2, სადაც p არის ნახევრად პერიმეტრი; a, b, c არის სამკუთხედის მხარეები. რადგან ფორმულა გამარტივებულია: r \u003d a / (2 * 3 ^ 1/2), და - სამკუთხედის მხარე.

მრავალკუთხედის გარშემო წრიული წრე ეწოდება წრეს, რომელზედაც მრავალკუთხედის ყველა ვერტიკალი დევს. სამკუთხედისთვის, სხივი გვხვდება ფორმულით: R \u003d abc / (4 (p (p-a) (p-b) (p-c)) ^ 1/2), სადაც p არის ნახევრად პერიმეტრი; a, b, c არის სამკუთხედის მხარეები. სწორად ის უფრო მარტივია: R \u003d a / 3 ^ 1/2.

მრავალკუთხედებისთვის, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი წარწერის რადიუსის თანაფარდობის დადგენა და მისი გვერდების სიგრძე. უფრო ხშირად შემოიფარგლება მხოლოდ პოლიგონის გარშემო ასეთი წრეების მშენებლობით, შემდეგ კი - ფიზიკური რადიუსი   წრეები საზომი ინსტრუმენტებით ან ვექტორიანი სივრცით.
ამოზნექილი მრავალკუთხედის გარშემოწერილი წრის შესაქმნელად, მისი ორი კუთხის ბისექტორები აშენებულია, მოთავსებული წრის ცენტრი მათ კვეთაზე დევს. სხივი იქნება მანძილი ბისტექტორების კვეთა წერტილიდან პოლიგონის ნებისმიერი კუთხის ვერტიკამდე. წარწერების ცენტრი, რომელიც მდებარეობს პოლიგონის შიდა მხარეს აშენებული პერპენდიკულარების კვეთაზე, მხარეთა ცენტრებიდან (ეს პერპენდიკულარები შუაა). საკმარისია ორი ასეთი პერპენდიკულარის აშენება. ჩაწერილი წრის რადიუსი არის მანძილი შუა პერპენდიკულარების კვეთა წერტილიდან პოლიგონის მხარეს.

დაკავშირებული ვიდეოები

ყურადღება მიაქციეთ

თვითნებურად მოცემული პოლიგონის წრე არ შეიძლება იყოს აღწერილი და მის გარშემო არსებული წრის აღწერა შეიძლება.

სასარგებლო რჩევა

წრე შეიძლება ჩაიწეროს ოთხკუთხედში, თუ a + c \u003d b + d, სადაც a, b, c, d არის ოთხკუთხედის მხარეები იმისათვის. წრე შეიძლება აღწერილი იყოს ოთხკუთხედის გარშემო, თუ მისი საპირისპირო კუთხეები იმატებს 180 გრადუსამდე;

სამკუთხედისთვის, ასეთი წრეები ყოველთვის არსებობს.

რჩევა 4: იპოვნეთ სამკუთხედის ფართობი სამი მხრიდან

სამკუთხედის არეალის პოვნა სკოლის დაგეგმვის ერთ – ერთი ყველაზე გავრცელებული ამოცანაა. სამკუთხედის სამი მხარის ცოდნა საკმარისია ნებისმიერი სამკუთხედის ფართობის დასადგენად. სპეციალურ შემთხვევებში და ტოლგვერდა სამკუთხედებში საკმარისია იცოდეთ ორი და ერთი მხარის სიგრძე, შესაბამისად.

დაგჭირდებათ

• სამკუთხედების გვერდითი სიგრძე, ჰერონის ფორმულა, კოსინუსის თეორემა

ინსტრუქციის სახელმძღვანელო

სამკუთხედის ფართობისთვის ჰერონის ფორმულა შემდეგია: S \u003d sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). თუ ჩვენ ნახევრად პერიმეტრზე ვხატავთ p, მივიღებთ: S \u003d sqrt (((a + b + c) / 2) ((b + ca) / 2) ((a + cb) / 2) ((a + bc) / 2) ) \u003d (sqrt ((a + b + c) (a + bc) (a + cb) (b + ca))) / 4.

ჩვენ შეგვიძლია გამოვიტანოთ ფორმულა სამკუთხედის ფართობისათვის და მოსაზრებებიდან, მაგალითად, კოსინური თეორემის გამოყენებისა.

კოსინური თეორემის მიხედვით, AC ^ 2 \u003d (AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC). შემოღებული ნოტაციის გამოყენებით, ეს ასევე შეიძლება იყოს ფორმაში: b ^ 2 \u003d (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). აქედან გამომდინარე, cos (ABC) \u003d ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2)) / (2 * a * c)

სამკუთხედის ფართობი ასევე გვხვდება ფორმულა S \u003d a * c * sin (ABC) / 2 მეშვეობით ორი მხრიდან და მათ შორის კუთხე. ABC კუთხის სინუსი მისი საშუალებით შეიძლება გამოვთქვათ ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობის გამოყენებით: sin (ABC) \u003d sqrt (1 - ((cos (ABC)) ^ 2) .სინუსის ჩანაცვლება ფართობის ფორმულაში და მისი შეღებვა, ჩვენ შეგვიძლია მივიდეთ სამკუთხედის ფართობზე ფორმულამდე. ABC.

დაკავშირებული ვიდეოები

სამი წერტილი, რომელიც ცალსახად განსაზღვრავს სამკუთხედს კარტესის კოორდინატთა სისტემაში, არის მისი ვერტიკალები. იცოდეთ მათი პოზიცია თითოეული კოორდინატის ღერძთან შედარებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ ამ ბრტყელი ფიგურის ნებისმიერი პარამეტრი, მათ შორის, მისი პერიმეტრით შეზღუდული. ტერიტორია. ამის გაკეთების რამდენიმე გზა არსებობს.

ინსტრუქციის სახელმძღვანელო

ფართობის გამოსათვლელად გამოიყენეთ ჰერონის ფორმულა სამკუთხედი. მასში ჩართულია ფიგურის სამი მხარის ზომები, ასე რომ დაიწყეთ გაანგარიშება. თითოეული მხარის სიგრძე ტოლი უნდა იყოს მისი პროგნოზების სიგრძის კვადრატების ჯამის ფესვის კოორდინატულ ღერძებზე. თუ აღვნიშნავთ კოორდინატებს A (X₁, Y₁, Z₁), B (X₂, Y₂, Z₂) და C (X₃, Y₃, Z₃), მათი მხარეების სიგრძე შეიძლება გამოითქვას შემდეგნაირად: AB \u003d √ ((X₁-X₂) ² + (Y₁ -Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²), BC \u003d √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) + (Z₂-Z₃) ²), AC \u003d √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

გამოთვლების გასამარტივებლად, შეიყვანეთ დამხმარე ცვლადი - ნახევრად პერიმეტრი (P). ამისგან ეს არის ყველა მხარის სიგრძის ჯამი: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²) + √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²) + √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) + (Z₁-Z₃) ²).

გამოთვალეთ ტერიტორია   (S) ჰერონის ფორმულის მიხედვით - აიღეთ ფესვი ნახევარ პერიმეტრის პროდუქტიდან მასსა და თითოეულ მხარეს შორის სიგრძის მიხედვით. ზოგადი თვალსაზრისით, იგი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: S \u003d √ (P * (P-AB) * (P-BC) * (P-AC)) \u003d √ (P * (P-√ ((X₁-X₂)) ² + ( Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²)) * (P-√ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²))) * (P-√ ((X₁ -X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃)))).

პრაქტიკული გამოთვლებით, მოსახერხებელია სპეციალიზებული კალკულატორების გამოყენება. ეს არის სკრიპტები, რომლებიც განთავსებულია ზოგიერთ საიტის სერვერებზე, რომლებიც შეასრულებენ ყველა საჭირო გამოთვლას, თქვენს მიერ შეყვანილ კოორდინატებზე დაყრდნობით. ერთადერთი ასეთი სერვისი არის ის, რომ იგი არ იძლევა განმარტებებს და დასაბუთებებს გამოთვლების თითოეულ საფეხურზე. ამიტომ, თუ თქვენ მხოლოდ საბოლოო შედეგი გაინტერესებთ და არა ზოგადად გაანგარიშებით, გადადით მაგალითად, გვერდზე http://planetcalc.ru/218/.

ფორმის ველებში შეიყვანეთ თითოეული ხერხემლის თითოეული კოორდინა სამკუთხედი   - ისინი აქ არიან, როგორც Ax, Ay, Az და ა.შ. თუ სამკუთხედი მითითებულია ორგანზომილებიანი კოორდინატებით, ველებში - Az, Bz და Cz - ჩაწერეთ ნული. "გაანგარიშების სიზუსტე" ველში მიუთითეთ ათობითი ადგილები სასურველი რაოდენობის დაჭერით პლუს ან მინუს მაუსის. ფორმის ქვეშ მოთავსებული ფორთოხლის ღილაკის "გამოთვლა" არ არის აუცილებელი, რომ გათვლები შესრულდეს მის გარეშე. პასუხს "სკვერის" გვერდით ნახავთ სამკუთხედი"- იგი მდებარეობს ფორთოხლის ღილაკის ქვემოთ.

წყაროები:

• იპოვნეთ სამკუთხედის ფართობი ვერტიკებით წერტილებში

ზოგჯერ, ამოზნექილი მრავალკუთხედის გარშემო, შეგიძლიათ დახაზოთ ისე, რომ მასზე ყველა კუთხის ვერტიკალი იდგეს. მრავალკუთხედთან მიმართებაში ასეთი წრე უნდა იყოს აღწერილი. მისი ცენტრი   ეს არ უნდა იყოს ჩაწერილი ფიგურის პერიმეტრის შიგნით, მაგრამ აღწერილი თვისებების გამოყენებით წრეებიამ წერტილის პოვნა, როგორც წესი, არც თუ ისე რთულია.

დაგჭირდებათ

• მმართველი, ფანქარი, პროტრატორი ან მოედანი, კომპასი.

ინსტრუქციის სახელმძღვანელო

თუ პოლიგონი, რომლის გარშემოც გსურთ წრის აღწერა, შედგენილია ქაღალდზე, რათა იპოვოთ ცენტრისაკმარისია წრე მმართველთან, ფანქრით და პროტექტორთან ან კვადრატთან. გაზომეთ ფიგურის ნებისმიერი მხარის სიგრძე, დაადგინეთ მისი შუაში და განათავსეთ დამხმარე წერტილი ნახაზის ამ ადგილას. კვადრატის ან პროტექტორის გამოყენებით, მიაპყროს ხაზს, რომელიც პერპენდიკულურია ამ მხარეზე, პოლიგონის შიგნით, სანამ ის კვეთს მოპირდაპირე მხარეს.

იგივე ოპერაცია გააკეთეთ პოლიგონის ნებისმიერ სხვა მხარესთან. ორი აშენებული სეგმენტის კვეთა იქნება სასურველი წერტილი. ეს გამომდინარეობს აღწერილი ძირითადი ქონებიდან წრეები   - მისი ცენტრი   ამოზნექილი მრავალკუთხედისგან, ნებისმიერი მხრიდან, ყოველთვის მდგომარეობს ამ მიზიდულ შუა პერპენდიკულურ კვეთაზე.