Правильные многогранники виды и свойства. Многогранники и их виды. Виды правильных многогранников

Введение

Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторые геометрическое тело, называют многогранной поверхностью или многогранником.

Многогранником называется ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Многоугольники, которые ограничивают многогранник, называются гранями, линии пересечения граней называются ребрами.

Многогранники могут иметь разнообразное и очень сложное строение. Различные постройки, например строящиеся дома из кирпичей и бетонных блоков, представляют собой примеры многогранников. Другие примеры можно найти среди мебели, например стол. В химии форма молекул углеводорода представляет собой тетраэдр, правильного двадцатигранника, куб. В физики примером многогранников служат кристаллы.

С древнейших времен представления о красоте связывали с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей, которых поражала красота, совершенство, гармония этих фигур.

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики - это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.

Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел:

§ Вселенная - додекаэдр

§ Земля - куб

§ Огонь - тетраэдр

§ Вода - икосаэдр

§ Воздух - октаэдр

Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами.

Платоновыми телами называются правильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все грани и углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники. К каждой вершине правильного многогранника сходится одно и то же число рёбер. Все двугранные углы при рёбрах и все многогранные углы при вершинах правильного многоугольника равны. Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников.

Теория многогранников является современным разделом математики. Она тесно связана с топологией, теорией графов, имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, прикладной математики - линейном программировании, теории оптимального управления. Таким образом, данная тема является актуальной, а знания по данной проблематике – важными для современного общества.

Основная часть

Многогранникомназывается ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников.

Приведем определение многогранника, равносильное первому определению многогранника.

Многогранник– это фигура, являющаяся объединением конечного числа тетраэдров, для которых выполнены следующие условия:

1) каждые два тетраэдра не имеют общих точек, либо имеют общую вершину, либо только общее ребро, либо целую общую грань;

2) от каждого тетраэдра к другому можно перейти по цепочке тетраэдра, в которой каждый последующий прилегает к предыдущему по целой грани.

Элементы многогранника

Грань многогранника – это некоторый многоугольник (многоугольником называется ограниченная замкнутая область, граница которой состоит из конечного числа отрезков).

Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины граней – вершинамимногогранника. К элементам многогранника, кроме его вершин, ребер и граней, относятся также плоские углы его граней и двугранные углы при его ребрах. Двугранный угол при ребре многогранника определяется его гранями, подходящими к этому ребру.

Классификация многогранников

Выпуклый многогранник - это многогранник, любые две точки которого соединимы в нем отрезком. Выпуклые многогранники обладают многими замечательными свойствами.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника В-Р+Г=2,

Где В – число его вершин, Р - число его ребер, Г - число его граней.

Теорема Коши. Два замкнутых выпуклых многогранника, одинаково составленные из соответственно равных граней равны.

Выпуклый многогранник считается правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходиться одно и то же число ребер.

Правильный многогранник

Многогранник называется правильным, если, во-первых, он выпуклый, во-вторых, все его грани - равные друг другу правильные многоугольники, в-третьих, в каждой его вершине сходятся одинаковое число граней, и, в-четвертых, все его двугранные углы равны.

Существует пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет; этим доказательством и изучением пяти правильных тел завершаются "Начала" Евклида (древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике). Почему правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней. Тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" - грань. Гексаэдр (куб) имеет 6 граней, "гекса" - шесть; октаэдр - восьмигранник, "окто" - восемь; додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать; икосаэдр имеет 20 граней, "икоси" - двадцать.

2.3. Типы правильных многогранников:

1) Правильный тетраэдр (составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольник. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 0);

2) Куб - параллелепипед, все грани которого – квадраты. Куб составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 0 .

3) Правильный октаэдр или просто октаэдр – многогранник, у которого восемь правильных треугольных граней и в каждой вершине сходятся по четыре грани. Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 0 . Его можно построить, сложив основаниями две пирамиды, в основании которых квадраты, а боковые грани - правильные треугольники. Ребра октаэдра можно получить, соединяя центры соседних граней куба, если же соединить центры соседних граней правильного октаэдра, то получим ребра куба. Говорят, что куб и октаэдр двойственны друг другу.

4)Икосаэдр - составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 0 .

5) Додекаэдр - многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 0 .

Додекаэдр и икосаэдр тоже двойственны друг другу в том смысле, что, соединив отрезками центры соседних граней икосаэдра, мы получим додекаэдр, и наоборот.

Правильный тетраэдр двойственен сам себе.

При этом не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n ≥ 6.

Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани правильные равные многоугольники, и все двугранные углы равны. Но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани - правильные, но разноименные правильные многоугольники. Многогранники такого типа называются равноугольно-полуправильными многогранниками. Впервые многогранники такое типа открыл Архимед. Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого ученого были названы телами Архимеда. Это усеченный тетраэдр, усеченный оксаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный куб, усеченный додекаэдр, кубооктаэдр, икосододекаэдр, усеченный кубооктаэдр усеченный икосододекаэдр, ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, "плосконосый" (курносый) куб, "плосконосый" (курносый) додекаэдр.

2.4. Полуправильные многогранники или Архимедовы тела - выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:

1. Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани - правильные многоугольники одного типа, это - правильный многогранник).

2. Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. В частности все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.

Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников - Платоновых тел, можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.

Два тетраэдра, прошедших один сквозь другой, образуют восьмигранник. Иоганн Кеплерприсвоил этой фигуре имя «стелла октангула» - «восьмиугольная звезда». Она встречается и в природе: это так называемый двойной кристалл.

В определении правильного многогранника сознательно - в расчете на кажущуюся очевидность - не было подчеркнуто слово «выпуклый». А оно означает дополнительное требование: «и все грани, которого лежат по одну сторону от плоскости, проходящей через любую из них». Если же отказаться от такого ограничения, то к Платоновым телам, кроме «продолженного октаэдра», придется добавить еще четыре многогранника (их называют телами Кеплера - Пуансо), каждый из которых будет «почти правильным». Все они получаются «озвездыванием» Платонова тела, то есть продлением его граней до пересечения друг с другом, и потому называются звездчатыми. Куб и тетраэдр не порождают новых фигур - грани их, сколько ни продолжай, не пересекаются.

Если же продлить все грани октаэдра до пересечения их друг с другом, то получится фигура, что возникает при взаимопроникновении двух тетраэдров - «стелла октангула», которая называется «продолженным октаэдром».

Икосаэдр и додекаэдр дарят миру сразу четыре «почти правильных многогранника». Один из них - малый звездчатый додекаэдр, полученный впервые Иоганном Кеплером.

Столетиями математики не признавали за всякого рода звездами права называться многоугольниками из-за того, что стороны их пересекаются. Людвиг Шлефли не изгонял геометрическое тело из семейства многогранников только за то, что его грани самопересекаются, тем не менее, оставался непреклонным, как только речь заходила про малый звездчатый додекаэдр. Довод его был прост и весом: это кеплеровское животное не подчиняется формуле Эйлера! Его колючки образованы двенадцатью гранями, тридцатью ребрами и двенадцатью вершинами, и, следовательно, В+Г-Р вовсе не равняется двойке.

Шлефли был и прав, и не прав. Конечно же, геометрический ежик не настолько уж колюч, чтобы восстать против непогрешимой формулы. Надо только не считать, что он образован двенадцатью пересекающимися звездчатыми гранями, а взглянуть на него как на простое, честное геометрическое тело, составленное из 60 треугольников, имеющее 90 ребер и 32 вершины.

Тогда В+Г-Р=32+60-90 равно, как и положено, 2. Но зато тогда к этому многограннику неприменимо слово «правильный» - ведь грани его теперь не равносторонние, а всего лишь равнобедренные треугольники. Кеплер не додумался, что у полученной им фигуры есть двойник.

Многогранник, который называется «большой додекаэдр» - построил французский геометр Луи Пуансо спустя двести лет после кеплеровских звездчатых фигур.

Большой икосаэдрбыл впервые описан Луи Пуансо в 1809 году. И опять Кеплер, увидев большой звездчатый додекаэдр, честь открытия второй фигуры оставил Луи Пуансо. Эти фигуры также наполовину подчиняются формуле Эйлера.

Практическое применение

Многогранники в природе

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник.

Также мы можем наблюдать многогранники в виде цветов. Ярким примером могут служить кактусы.

Похожая информация.

Муниципальное Образовательное Учреждение

Гимназия № 26

Геометрия

Основные виды многогранников и их свойства

Выполнила:

Ученица 9-1 класса

Байсакова Ляззат

Преподаватель:

Сысоева Елена Алексеевна

Челябинск

Введение

До настоящего времени в курсе геометрии мы занимались планиметрией - изучали свойства плоских геометрических фигур, то есть фигур, полностью расположенных в плоскости. Но большинство окружающих нас предметов не являются полностью плоскими, они расположены в пространстве. Раздел геометрии, в котором изучают свойства фигур в пространстве, называется стереометрией ( от др. греч. στερεός, "стереос" - "твёрдый, пространственный" и μετρέω - "измеряю").

Основными фигурами в пространстве являются точка , прямая и плоскость . Наряду с данными простейшими фигурами в стереометрии рассматриваются геометрические тела и их поверхности. При изучении геометрических тел, пользуются изображениями на чертеже.

Рисунок 1 Рисунок 2

На рисунке 1 изображена пирамида, на рисунке 2 - куб. Данные геометрические тела называются многогранниками. Рассмотрим некоторые виды и свойства многогранников.

Многогранная поверхность. Многогранник

Многогранной поверхностью называют объединение конечного числа плоских многоугольников такое, что каждая сторона любого из многоугольников является в то же время стороной другого (но только одного) многоугольника, называемого смежным с первым многоугольником.

От любого из многоугольников, составляющих многогранную поверхность, можно дойти до любого другого, двигаясь по смежным многоугольникам.

Многоугольники, составляющие многогранную поверхность, называются ее гранями; стороны многоугольников называются ребрами, а вершины - вершинами многогранной поверхности.

На рис.1 изображены объединения многоугольников, удовлетворяющие указанным требованиям и являющиеся многогранными поверхностями. На рис.2 изображены фигуры, не являющиеся многогранными поверхностями.

Многогранная поверхность делит пространство на две части - внутреннюю область многогранной поверхности и внешнюю область. Из двух областей внешней будет та, в которой можно провести прямые, целиком принадлежащие области.

5 Объединение многогранной поверхности и ее внутренней области называют многогранником. При этом многогранную поверхность и ее внутреннюю область называют соответственно поверхностью и внутренней областью многогранника. Грани, ребра и вершины поверхности многогранника называют соответственно гранями, ребрами и вершинами многогранника.

Пирамида

Многогранник, одна из граней которого - произвольный многогранник, а остальные грани - треугольники, имеющие одну общую вершину, называется пирамидой.

Многоугольник называется основанием пирамиды, а остальные грани (треугольники) называются боковыми гранями пирамиды.

Различают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. пирамиды в зависимости от вида многоугольника, лежащего в основании пирамиды.

Треугольную пирамиду также называют тетраэдром. На рис.1 изображена четырехугольная пирамида SABCD с основанием ABCD и боковыми гранями SAB, SBC, SCD, SAD.

Стороны граней пирамиды называются ребрами пирамиды. Ребра, принадлежащие основанию пирамиды, называют ребрами основания, а все остальные ребра - боковыми ребрами. Общая вершина всех треугольников (боковых граней) называется вершиной пирамиды (на рис.1 точка S - вершина пирамиды, отрезки SA, SB, SC, SD - боковые ребра, отрезки АВ, ВС, CD, AD - ребра основания).

Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды S к плоскости основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра). На рис.1 SO - высота пирамиды.

Правильная пирамида. Пирамида называется правильной, если основанием пирамиды является правильный многоугольник, а ортогональная проекция вершины на плоскость основания совпадает с центром многоугольника, лежащего в основании пирамиды.

Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой; все боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой этой пирамиды. На рис.2 SN - апофема. Все апофемы правильной пирамиды равны между собой.

Призма

Многогранник, две грани которого - равные n -угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней - параллелограммы, называетсяn -угольной призмой.

многогранник пирамида призма параллелепипед

Пару равных n -угольников называют основаниями призмы. Остальные грани призмы называют ее боковыми гранями, а их объединение - боковой поверхностью призмы. На рис.1 изображена пятиугольная призма.

Стороны граней призмы называют ребрами, а концы ребер - вершинами призмы. Ребра, не принадлежащие основанию призмы, называют боковыми ребрами.

Призму, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называют прямой призмой. В противном случае призма называется наклонной.

Отрезок перпендикуляра к плоскостям оснований призмы, концы которого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы.

Прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, называется правильной призмой.

Параллелепипед

Параллелепипед - шестигранник, противоположные грани которого попарно параллельны. Параллелепипед имеет 8 вершин, 12 рёбер; его грани представляют собой попарно равные параллелограммы.

Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны к плоскости основания (в этом случае 4 боковые грани - прямоугольники); прямоугольным, если этот параллелепипед прямой и основанием служит прямоугольник (следовательно, 6 граней - прямоугольники);

Параллелепипед , все грани которого квадраты, называется кубом.

Объём Параллелепипед равен произведению площади его основания на высоту.

Объем тела

Каждый многогранник имеет объем, который можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объемов. За единицу измерения объемов принимают куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называется кубическим сантиметром . Аналогично определяется кубический метр и кубический миллиметр , и т.д.

В процессе измерения объемов при выбранной единице измерения объем тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и ее частей укладывается в этом теле. Число, выражающее объем тела, зависит от выбора единицы измерения объемов. Поэтому единица измерения объемов указывается после этого числа.

Основные свойства объемов:

1. Равные тела имеют равные объемы.

2. Если тело составлено из нескольних тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.

Для нахождения объемов тел в ряде случаев удобно пользоваться теоремой, получившей название принцип Кавальери .

Принцип Кавальери состоит в следующем: если при пересечении двух тел любой плоскостью, параллельной некоторой заданной плоскости, получаются сечения равной площади, то объёмы тел равны между собой.

Заключение

Итак, многогранники изучает раздел геометрии под названием стереометрия. Многогранники бывают разных видов (пирамида, призма и т.д.) и имеют разные свойства. Также, следует отметить, что многогранники в отличие от плоских фигур имеют объем и располагаются в пространстве.

Большинство окружающих нас предметов находятся в пространстве, и изучение многогранников помогает нам составить представление об окружающей нас реальности с точки зрения геометрии.

Список используемой литературы

1. Геометрия. Учебник для 7-9 классов.

3. Википедия

Куб, шар, пирамида, цилиндр, конус - геометрические тела. Среди них выделяют многогранники. Многогранником называют геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Каждый из этих многоугольников называется гранью многогранника, стороны и вершины этих многоугольников - соответственно ребрами и вершинами многогранника.

Двугранные углы между соседними гранями, т.е. гранями, име­ющими общую сторону - ребро многогранника - являются так­же и двугранными умами многогранника. Углы многоугольников - граней выпуклого многоугольника - являются плоскими умами многогранника. Кроме плоских и двугранных углов у выпуклого многогранника имеются еще и многогранные углы. Эти углы образу­ют грани, имеющие общую вершину.

Среди многогранников различают призмы и пирамиды.

Призма - это многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников и параллелограммов, имеющих об­щие стороны с каждым из оснований.

Два равных многоугольника называются основаниями ггризмьг, а параллелограммы - ее боковыми гранями. Боковые грани образуют боковую поверхность призмы. Ребра, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы.

Призму называют п-угольной, если ее основаниями являются я-угольники. На рис. 24.6 изображена четырехугольная призма АВСDА"В"С"D".

Призму называют прямой, если ее боковыми гранями являются прямоугольники (рис. 24.7).

Призму называют правильной , если она прямая, а ее основа­ния - правильные многоугольники.

Четырехугольную призму называют параллелепипедом , если ее основания - параллелограммы.

Параллелепипед называют прямоугольным, если все его грани - прямоугольники.

Диагональ параллелепипеда - это отрезок, соединяющий его противоположные вершины. У параллелепипеда четыре диаго­нали.

Доказано, что диагонали параллелепи­педа пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Диагонали прямо­угольного параллелепипеда равны.

Пирамида - это многогранник, по­верхность которого состоит из много­угольника - основания пирамиды, и треугольников, имеющих общую верши­ну, называемых боковыми гранями пи­рамиды. Общая вершина этих треуголь­ников называется вершиной пирамиды, ребра, выходящие из вер­шины, - боковыми ребрами пирамиды.

Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основа­ние, а также длина этого перпендикуляра называется высотой пи­рамиды.

Простейшая пирамида - треугольная или тетраэдр (рис. 24.8). Особенность треугольной пирамиды состоит в том, что любую грань можно рассматривать как основание.

Пирамиду называют правильной, если в основании ее лежит правильный многоугольник, а все боковые ребра равны между собой.

Заметим, что следует различать правильный тетраэдр (т.е. тетра­эдр, у которого все ребра равны между собой) и правильную тре­угольную пирамиду (в ее основании лежит правильный треуголь­ник, а боковые ребра равны между собой, но их длина может от­личаться от длины стороны треугольника, который является ос­нованием призмы).

Различают выпуюше и невыпуклые многогранники. Определить вы­пуклый многогранник можно, если воспользоваться понятием вы­пуклого геометрического тела: многогранник называют выпуклым. если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок.

Можно определить выпуклый многогранник иначе: многогран­ник называют выпуклым, если он полностью лежит по одну сторо­ну от каждого из ограничивающих его многоугольников.

Данные определения равносильны. Доказательство этого факта не приво­дим.

Все многогранники, которые до сих пор рассматривались, были выпуклыми (куб, параллелепипед, призма, пирамида и др.). Многогранник, изображенный на рис. 24.9, выпуклым не является.

Доказано, что в выпуклом многогран­нике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Рассмотрим несколько выпуклых многогранников (таблица 24.1)

Из этой таблицы следует, что для всех рассмотренных выпук­лых многогранников имеет место равенство В - Р + Г = 2. Оказа­лось, что оно справедливо и для любого выпуклого многогранни­ка. Впервые это свойство было доказано Л.Эйлером и получило название теоремы Эйлера.

Выпуклый многогранник называют правильным, если его гра­нями являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Используя свойство выпуклого многогранного угла, можно до­казать, что различных видов правильных многогранников существу­ет не более пяти.

Действительно, если фан и многогранника - правильные тре­угольники, то в одной вершине их может сходиться 3, 4 и 5, так как 60" 3 < 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Если в каждой вершине многофанника сходится три правиль­ных треугольника, то получаем правшш/ый тетраэдр, что в пере­воде с феческого означает «четырехгранник» (рис. 24.10, а).

Если в каждой вершине многогранника сходится четыре пра­вильных треугольника, то получаем октаэдр (рис. 24.10, в). Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников.

Если в каждой вершине многогранника сходится пято правиль­ных треугольников, то получаем икосаэдр (рис. 24.10, г). Его поверх­ность состоит из двадцати правильных треугольников.

Если грани многофанника - квадраты, то в одной вершине их может сходиться только три, так как 90° 3 < 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также гексаэдром (рис. 24.10, б).

Если граани многофанника - правильные пятиугольники, то в одной вершине их может сходиться только фи, так как 108° 3 < 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется додекаэдром (рис. 24.10, д). Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников.

Шестиугольными и более грани многогранника не могут быть, так как даже для шестиугольника 120° 3 = 360°.

В геометрии доказано, что в трехмерном евклидовом простран­стве существует ровно пять различных видов правильных много­гранников’.

Чтобы изготовить модель многогранника, нужно сделать его развертку (точнее развертку его поверхности).

Развертка многогранника - это фигура на плоскости, которая получается, если поверхность многогранника разрезать но некото рым ребрам и развернуть ее так, чтобы все многоугольники, вхо­дящие в эту поверхность, лежали в одной плоскости.

Отметим, что многогранник может иметь несколько различных разверток в зависимости от того, какие ребра мы разрезали. На рисунке 24.11 показаны фиг"уры, которые являются различными развертками правильной четырехугольной пирамиды, т.е. пирами­ды, в основании которой лежит квадрат, а все боковые ребра рав­ны между собой.

Чтобы фигура на плоскости была разверткой выпуклого много­гранника, она должна удовлетворять ряду требований, связанных с особенностями многогранника. Например, фигуры на рис. 24.12 не являются развертками правильной четырехугольной пирамиды: в фигуре, изображенной на рис. 24.12, а, в вершине М сходятся четыре грани, чего не может быть в правильной четырехугольной пирамиде; а в фигуре, изображенной на рис. 24.12, б, боковые ребра А В и ВС не равны.

Вообще, развертку многогранника можно получить путем раз­резания его поверхности не только по ребрам. Пример такой раз­вертки куба приведен на рис. 24.13. Поэтому более точно развертку многогранника можно определить как плоский многоугольник, из которого может быть сделана поверхность этого многогранника без перекрытий.

Тела вращения

Телом вращения называют тело, полученное в результате вра­щения некоторой фигуры (обычно плоской) вокруг прямой. Эту прямую называют осью вращения.

Цилиндр - эго тело, которое получается в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон. При этом указанная сто­рона является осью цилиндра. На рис. 24.14 изображен цилиндр с осью ОО’, полученный в результате вращения прямоугольника АА"О"О вокруг прямой ОО". Точки О и О" - центры оснований цилиндра.

Цилиндр, который получается в результате вращения прямо­угольника вокруг одной из его сторон, называют прямым круго­вым цилиндром, так как его основаниями являются два равных круга, расположенных в параллельных плоскостях так, что отре­зок, соединяющий центры кругов, перпендикулярен этим плос­костям. Боковую поверхность цилиндра образуют отрезки, равные стороне прямоугольника, параллельной оси цилиндра.

Разверткой боковой поверхности пря­мого кругового цилиндра, если ее раз­резать по образующей, является прямо­угольник, одна сторона которого равна длине образующей, а другая - длине ок­ружности основания.

Конус - это тело, которое получает­ся в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

При этом указанный катет неподвижен и называется осью конуса. На рис. 24.15 изображен конус с осью SO, получен­ный в результате вращения прямоуголь­ного треугольника SOA с прямым уг­лом О вокруг катета S0. Точку S называют вершиной конуса, ОА - радиусом его основания.

Конус, который получается в результате вращения прямоуголь­ного треугольника вокруг одного из его катетов, называют пря­мым круговым конусом, гак как его основанием является круг, а вершина проектируется в центр этого круга. Боковую поверхность конуса образуют отрезки, равные гипотенузе треугольника, при вращении которого образуется конус.

Если боковую поверхность конуса разрезать по образующей, то ее можно «развернуть» на плоскость. Разверткой боковой поверх­ности прямого кругового конуса является круговой сектор с ради­усом, равным длине образующей.

При пересечении цилиндра, конуса или любого другого тела вращения плоскостью, содержагцей ось вращения, получается осевое сечение. Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, осевое сече­ние конуса - равнобедренный треугольник.

Шар - это тело, которое получается в результате вращения полукруг а вокруг его диаметра. На рис. 24.16 изображен шар, получен­ный в результате вращения полукруга вокруг диаметра АА". Точку О называют центром шара, а радиус круга является радиусом шара.

Поверхность шара называют сферой. Сферу развернуть на плос­кость нельзя.

Любое сечение шара плоскостью есть круг. Радиус сечения шара будет наибольшим, если плоскость проходит через центр шара. Поэтому сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом шара, а окружность, его ограничиваю­щая, - большой окружностью.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ

В отличие от плоских фигур геометрические тела невозможно точно изобразить, например, на листе бумаги. Однако с помощью чертежей на плоскости можно получить достаточно наглядное изоб­ражение пространственных фигур. Для этого используются специ­альные способы изображения таких фигур на плоскости. Одним из них является параллельное проектирование.

Пусть даны плоскость а и пересекающая се прямая а. Возьмем в пространстве произвольную точку Л", не принадлежащую пря­мой а, и проведем через X прямую а", параллельную прямой а (рис. 24.17). Прямая а" пересекает плоскость в некоторой точке X", которая называется параллельной проекцией точки X на плос­кость а.

Если точка А"лежит на прямой а, то се параллельной проекци­ей X" является точка, в которой прямая а пересекает плоскость а.

Если точка X принадлежит плоскости а, то точка X" совпадает с точкой X.

Таким образом, если заданы плоскость а и пересекающая ее прямая а. то каждой точке X пространства можно поставить в соот­ветствие единственную точку А" - параллельную проекцию точки X на плоскость а (при проектировании параллельно прямой а). Плос­кость а называется плоскостью проекций. О прямой а говорят, что она залает направление проектирования - ггри замене прямой а любой другой параллельной ей прямой результат проектирования не изменится. Все прямые, параллельные прямой а, задаюз одно и то же направ­ление проектирования и называются вместе с прямой а проектирующими прямыми.

Проекцией фигуры F называют мно­жество F‘ проекцией всех се точек. Ото­бражение, сопоставляющее каждой точ­ке X фигуры F "ее параллельную проек­цию - точку X" фигуры F", называется параллельным проектированием фигуры F (рис. 24.18).

Параллельной проекцией реального предмета является его тень, падающая на плоскую поверхность при солнечном освещении, поскольку солнечные лучи можно считать параллельными.

Параллельное проектирование обладает рядом свойств, знание которых необходимо при изображении геометрических тел на плоскости. Сформулируем основные, не приводя их доказательства.

Теорема 24.1. При параллельном проектировании для прямых, не параллельных направлению проектирования, и для лежащих на них отрезков выполняются следующие свойства:

1) проекция прямой есть прямая, а проекция отрезка - отрезок;

2) проекции параллельных прямых параллельны или совпадают;

3) отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.

Из этой теоремы вытекает следствие: при параллельном про­ектировании середина отрезка проектируется в середину его про­екции.

При изображении геометрических тел на плоскости необходи­мо следить за выполнением указанных свойств. В остальном оно может быть произвольным. Так, углы и отношения длин непарал­лельных отрезков могут изменяться произвольно, т.е., например, треугольник при параллельном проектировании изображается про­извольным треугольником. Но если треугольник равносторонний, то па проекции его медианы должны соединять вершину треуголь­ника с серединой противоположной стороны.

И еще одно требование необходимо соблюдать при изображе­нии пространственных тел на плоскости - способствовать созда­нию верного представления о них.

Изобразим, например, наклонную призму, основаниями кото­рой являются квадраты.

Построим сначала нижнее основание призмы (можно начинать и с верхнего). По правилам параллельного проектирования огго изобразится произвольным параллелограммом АВСD (рис. 24.19, а). Так как ребра призмы параллельны, строим параллельные пря­мые, проходящие через вершины построенного параллелограмма и откладываем на них равные отрезки АА", ВВ’, СС", DD", длина которых произвольна. Соединив последовательно точки А", В", С", D", получим четырехугольник А"В"С"D", изображающий верхнее основание призмы. Нетрудно доказать, что А"В"С"D" - паралле­лограмм, равный параллелограмму АВСD и, следовательно, мы имеем изображение призмы, основаниями которой являются рав­ные квадраты, а остальные грани - параллелограммы.

Если нужно изобразить прямую призму, основаниями которой являются квадраты, то показать, что боковые ребра этой призмы перпендикулярны основанию, можно так, как это сделано на рис. 24.19, б.

Кроме тог о, чертеж на рис. 24.19, б можно считать изображени­ем правильной призмы, так как ее основанием является квадрат - правильный четырехугольник, а также - прямоугольным парал­лелепипедом, поскольку все его грани - прямоугольники.

Выясним теперь, как изобразить на плоскости пирамиду.

Чтобы изобразить правильную пирамиду, сначала чертят пра­вильный многоугольник, лежащий в основании, и его центр - точку О. Затем проводят вертикальный отрезок OS, изображаю­щий высоту пирамиды. Заметим, что вертикальность отрезка OS обеспечивает большую наглядность рисунка. И наконец, точку S соединяют со всеми вершинами основания.

Изобразим, например, правильную пирамиду, основанием ко­торой является правильный шестиугольник.

Чтобы верно изобразить при параллельном проектировании правильный шестиугольник, надо обратить внимание на следующее. Пусть АВСDЕF - правильный шестиугольник. Тогда ВСЕF - прямоугольник (рис. 24.20) и, значит, при параллельном проектировании он изобра­зится произвольным параллелограммом В"С"Е"F". Так как диагональ АD проходит через точку О - центр многоугольника АВСDЕF и параллельна отрезкам. ВС и ЕF и АО= ОD, то при параллельном проектировании она изобразится произвольным от­резком А"D", проходящим через точку О" параллельно В"С" и Е"F" и, кроме того, А"О" = О"D".

Таким образом, последовательность построения основания ше­стиугольной пирамиды такова (рис. 24.21):

§ изображают произвольный параллелограмм В"С"Е"F" и его диагонали; отмечают точку их пересечения O";

§ через точку О" проводят прямую, параллельную В’С" (или Е"F’);

§ на построенной прямой выбирают произвольную точку А" и отмечают точку D" такую, что О"D" = А"О", и соединяют точку А" с точками В" и F ", а точку D" - с точками С" и Е".

Чтобы завершить построение пирамиды, проводят вертикаль­ный отрезок ОS (его длина выбирается произвольно) и соединя­ют точку S со всеми вершинами основания.

При параллельном проектировании шар изображается в виде круга того же радиуса. Чтобы сделать изображение шара более на­глядным, рисуют проекцию какой-нибудь большой окружности, плоскость которой не перпендикулярна плоскости проекции. Эта проекция будет эллипсом. Центр шара изобразится центром этого эллипса (рис. 24.22). Теперь можно найти соответствующие полюсы N и S при условии, что отрезок, их соединяющий, перпендикуля­рен плоскости экватора. Для этого через точку О проводим пря­мую, перпендикулярную АВ и отмечаем точку С - пересечение этой прямой с эллипсом; затем через точку С проводим касатель­ную к эллипсу, изображающему экватор. Доказано, что расстоя­ние СМ равно расстоянию от центра шара до каждого из полюсов. Поэтому, отложив отрезки ОN и OS, равные СМ, получим полю­сы N и S.

Рассмотрим один из приемов построения эллипса (он основан на преобразовании плоскости, которое называется сжатием): строят окружность с диаметром и проводят хорды, перпендикулярные диаметру (рис. 24.23). Половину каждой из хорд делят пополам и полученные точки соединяют плавной кривой. Эта кривая - эл­липс, большой осью которого является отрезок АВ, а центром - точка О.

Этот прием мЬжно использовать, изображая на плоскости пря­мой круговой цилиндр (рис. 24.24) и прямой круговой конус (рис. 24.25).

Прямой круговой конус изображают так. Сначала строят эл­липс - основание, затем находят центр основания - точку О и перпендикулярно проводят отрезок OS, который изображает вы­соту конуса. Из точки S проводят к эллипсу касательные (это дела­ют «на глаз», прикладывая линейку) и выделяют отрезки SС и SD этих прямых от точки S до точек касания С и D. Заметим, что отрезок СD не совпадает с диаметром основания конуса.

Многогранник – геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскостями- плоскими многоугольниками.

Выпуклый многогранник- если он расположен по одну сторону от каждой из его граней.

Призма- многогранник, 2 грани которого n-угольники, лежащие в параллельной плоскости, а остальные n-грани-параллелограммы.

Многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях-основания.

Совокупность боковых граней образует боковую поверхность.

Призмы делятся на:

1)по числу углов основания(треугольная, четырёхугольная и т.д.)

2)по наклону рёбер к основанию(прямая, наклонная)

Правильная призма- основание правильный многоугольник.

Высота призмы- расстояние между основаниями.

Построение чертежа призмы сводится к построению её вершин (характерных точек) и построению прямых линий ограниченных проекцией.

Развёрткой многогранника наз фигура, полученная в результате совмещения всех его граней с плоскостью.

Развёртки изображают сплошными основными линиями. При необходимости наносят линии изгиба. Для развёртки принимают только натуральные величины элементов.

Пирамида- многогранник, одна грань кот n-угольник, а остальные – треугольники, имеющие общую вершину.

Если основание пирамиды- правильный многоугольник- правильная пирамида. Высота будет проходить через центр основания. Существую и др виды многогранников-призматоид, тэтраэдр, и др

10. Поверхности. Образование и задание поверхностей. Поверхности вращения.

Поверхность-общая часть двух смежных частей пространства, непрерывное множество положений перемещающихся в пространстве линий(траектория движения).Поверхности вращения- такие поверхности, кот образуются при вращении некоторой образующей вокруг неподвижной прямой- оси вращения.

При вращении каждая точка образующей описывает окружность, центр вращения которой находится на оси вращения. Эти окружности называются параллельными.

Параллель наибольшего диаметра наз экватор.

Цилиндр-геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и 2-мя параллельными плоскостями.

Если направляющая явл окружностью- круговой цилиндр.

Если образующая перпендикулярна онованию- прямой цилиндр.

Конус-геометрич тело, ограниченное конической поверхн, расположенной по одну сторону от вершины и плоскостью в основании пересек все образующие.

Сферическая поверхность. Получается при вращении окружности или её части расположенной в плоскости этой окружности при условии, что центр окружности находится на оси вращения.

Торическая поверхность- получается при вращении окружности или ей части вокруг оси, расположенной в плоскости этой окружности но не проходящей через её центр.

11. Пересечение поверхностей плоскостью.

При пересечении поверхности или какой-либо геометрической фигуры плоскостью получается плоская фигура, которую называют сечением.

Определение проекций линий сечения следует начинать с построения опорных точек - точек, расположенных на очерковых образующих поверхности (точки, определяющие границы видимости проекций кривой); точек, удаленных на экстремальные (максимальное и минимальное) расстояния от плоскостей проекций. После этого определяют произвольные точки линии сечения.

Построение сечения многогранников.

Многогранником называют пространственную фигуру, ограниченную замкнутой поверхностью, состоящей из отсеков плоскостей, имеющих форму многоугольников (в частном случае треугольников).

Стороны многоугольников образуют ребра, а плоскости многоугольников - грани многогранника.

Проекциями сечения многогранников, в общем случае, являются многоугольники, вершины которых принадлежат ребрам, а стороны - граням многогранника*. Поэтому задачу по определению сечения многогранника можно свести к многократному решению задачи по определению точки встречи прямой (ребер многогранника) с плоскостью или к задаче по нахождению линии пересечения двух плоскостей (грани многогранника и секущей плоскости).

Первый путь решения называют способом ребер, второй - способом граней

Построение сечения поверхности вращения.

Вид фигуры сечения тел вращения плоскостью зависит от положения секущей плоскости.

При пересечении кругового цилиндра плоскостью в сечении могут получиться три фигуры сечения цилиндра:

а) окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра;

б) эллипс, если секущая плоскость наклонена к оси цилиндра

в) прямоугольник, если секущая плоскость параллельна оси цилиндра

Хотя стереометрию изучают только в старших классах школы, но с кубом, правильными пирамидами и другими простыми многогранниками знаком каждый школьник. Тема «Многогранники» имеет яркие приложения, в том числе в живописи и архитектуре. Кроме этого, в ней, по образному выражению академика Александрова, сочетаются «лёд и пламень», то есть живое воображение и строгая логика. Но в школьном курсе стереометрии мало времени уделяется правильным многогранникам. А ведь у многих правильные многогранники вызывают большой интерес, но нет возможности узнать о них больше на уроке. Именно поэтому я решила рассказать обо всех правильных многогранниках, имеющих разнообразные формы, и об их интересных свойствах.

Структура правильных многогранников очень удобна для изучения множества преобразований многогранника в себя (повороты, симметрии и т. д.). Получающиеся при этом группы преобразований (их называют группами симметрии) оказались весьма интересными с точки зрения теории конечных групп. Эта же симметричность позволила создать серию головоломок в виде правильных многогранника, начавшуюся «кубиком Рубиком» и «молдавской пирамидкой».

Для составления реферата использовался Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», из которого взята информация о том, что такое правильный многогранник, об их количестве, о построении всех правильных многогранников и описании всех поворотов, при которых многогранник совмещается со своим первоначальным положением. Из газеты «Математика» я получила интересные сведения о звёздчатых правильных многогранниках, их свойствах, открытии и их применении.

Теперь у вас есть возможность окунуться в мир правильного и великолепного, в мир прекрасного и необычайного, который привораживает наш взор.

1. Правильные многогранники

1. 1 Определение правильных многогранников.

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многогранники и все многогранные углы равны.

Рассмотрим возможные правильные многогранники и, прежде всего те из них, гранями которых являются правильные треугольники. Наиболее простым таким правильным многогранником является треугольная пирамида, гранями которой являются правильные треугольники. В каждой её вершине сходится по три грани. Имея всего четыре грани, этот многогранник называется также правильным тетраэдром, или просто тетраэдром, что в переводе с греческого языка означает четырёхгранник.

Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники и в каждой вершине сходится четыре грани, его поверхность состоит из восьми правильных треугольников, поэтому он называется октаэдром.

Многогранник, в каждой вершине которого сходиться пять правильных треугольников. Его поверхность состоит из двадцати правильных треугольников, поэтому он называется икосаэдром.

Заметим, что поскольку в вершинах выпуклого многогранника не может сходиться более пяти правильных треугольников, то других правильных многоугольников, гранями которых являются правильные треугольники, не существует.

Аналогично, поскольку в вершинах выпуклого многогранника может сходиться только три квадрата, то, кроме куба, других правильных многогранников, у которых гранями являются квадраты, не существует. Куб имеет шесть граней и поэтому также называется гексаэдром.

Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники и в каждой вершине сходятся три грани. Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников, поэтому он называется додекаэдром.

Из определения правильного многогранника следует, что правильный многогранник «совершенно симметричный»: если отметить какую-то грань Г и одну из её вершин А, то для любой другой грани Г1 и её вершины А1 можно совместить многогранник с самим собой движением в пространстве так, что грань Г совместится с Г1 и при этом вершина А попадает в точку А1.

1. 2. Историческая справка.

Пять перечисленных выше правильных многогранников, часто называемых также «телами Платона», захватили воображение математиков, мистиков и философов древности более двух тысяч лет назад. Древние греки даже установили мистическое соответствие между тетраэдром, кубом, октаэдром и икосаэдром и четырьмя природными началами – огнем, землей, воздухом и водой. Что касается пятого правильного многогранника, додекаэдра, то они рассматривали его как форму Вселенной. Эти идеи не являются одним лишь достоянием прошлого. И сейчас, спустя два тысячелетия, многих привлекает лежащее в их основе эстетическое начало.

Первые четыре многогранника были известны задолго до Платона. Археологи нашли додекаэдр, изготовленный во времена этрусской цивилизации по крайней мере за 500 лет до н. э. Но, видимо, в школе Платона додекаэдр был открыт самостоятельно. Существует легенда об ученике Платона Гиппазе, погибшем в море потому, что он разгласил тайну о «шаре с двенадцатью пятиугольниками».

Со времен Платона и Евклида хорошо известно, что существует ровно пять типов правильных многогранников.

Докажем этот факт. Пусть все грани некоторого многогранника -правильные п-угольники и k - число граней, примыкающих к вершине (оно одинаково для всех вершин). Рассмотрим вершину А нашего многогранника. Пусть M1, М2,. , Mk - концы k выходящих из неё рёбер; поскольку двугранные углы при этих рёбрах равны, AM1M2Mk - правильная пирамида: при повороте на угол 360º/k вокруг высоты АН вершина М переходит в М, вершина M1 - в М2. Mk в M1 .

Сравним равнобедренные треугольники AM1M2 и HM1M2 У них основание общее, а боковая сторона AM1 больше HM1, поэтому M1AM2

Тетраэдр 3 3 4 4 6

Куб 4 3 8 6 12

Октаэдр 3 4 6 8 12

Додекаэдр 5 3 20 12 30

Икосаэдр 3 5 12 20 30

1. 3. Построение правильных многогранников.

Все соответствующие многогранники можно построить, взяв за основу куб.

Чтобы получить правильный тетраэдр, достаточно взять четыре несмежные вершины куба и отрезать от него пирамидки четырьмя плоскостями, каждая из которых проходит через три из взятых вершин

Такой тетраэдр можно вписать в куб двумя способами.

Пересечение двух таких правильных тетраэдров - это как раз правильный октаэдр: многогранник из восьми треугольников с вершинами, расположенными в центрах граней куба.

2. Свойства правильных многогранников.

2. 1. Сфера и правильные многогранники.

Вершины любого правильного многогранника лежат на сфере (что вряд ли вызовет удивление, если вспомнить, что вершины любого правильного многоугольника лежат на окружности). Помимо этой сферы, называемой «описанной сферой», имеются еще две важные сферы. Одна из них, «срединная сфера», проходит через середины всех ребер, а другая, «вписанная сфера», касается всех граней в их центрах. Все три сферы имеют общий центр, который называется центром многогранника.

Радиус описанной сферы Название многогранника Радиус вписанной сферы

Тетраэдр

Додекаэдр

Икосаэдр

2. 1. Самосовмещения многогранников.

Какие самосовмещения (вращения, переводящие в себя) есть у куба, тетраэдра и октаэдра? Заметим, что некоторая точка-центр многогранника - при любом самосовмещении переходит в себя, так что все самосовмещения имеют общую неподвижную точку.

Посмотрим, какие вообще в пространстве бывают вращения с неподвижной точкой А. Покажем, что такое вращение обязательно является поворотом на некоторый угол вокруг некоторой прямой проходящей через точку А. Достаточно у нашего движения F(c F(A) = A) указать неподвижную прямую. Найти её можно так: рассмотрим три точки M1, M2 = F(M1) и M3 = F(M2), отличные от неподвижной точки А, проведём через них плоскость и опустим на неё перпендикуляр АН - это и будет искомая прямая. (Если М3 = М1, то наша прямая проходит через середину отрезка M1M2, a F - осевая симметрия: поворот на угол 180°).

Итак, самосовмещение многогранника обязательно является поворотом вокруг оси, проходящей через центр многогранника. Эта ось пересекает наш многогранник в вершине или во внутренней точке ребра или грани. Следовательно, наше самосовмещение переводит в себя вершину, ребро или грань, значит, оно переводит в себя вершину, середину ребра или центр грани. Вывод: движение куба, тетраэдра или октаэдра, совмещающее его с собой, есть вращение вокруг оси одного из трёх типов: центр многогранника - вершина, центр многогранника - середина ребра, центр многогранника - центр грани.

Вообще, если многогранник совмещается с самим собой при повороте вокруг прямой на угол 360°/m, то эту прямую называют осью симметрии m-го порядка.

2. 2. Движение и симметрии.

Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают.

Рассматривая самосовмещения многогранников, можно включить в их число не только вращения, но и любые движения, переводящие многогранник в себя. Здесь движение - это любое преобразование пространства, сохраняющее попарные расстояния между точками.

В число движений, кроме вращений, нужно включить и зеркальные движения. Среди них - симметрия относительно плоскости (отражение), а также композиция отражения относительно плоскости и поворота вокруг перпендикулярной ей прямой (это - общий вид зеркального движения, имеющего неподвижную точку). Конечно, такие движения нельзя реализовать непрерывным перемещением многогранника в пространстве.

Рассмотрим подробнее симметрии тетраэдра. Любая прямая, проходящая через любую вершину и центр тетраэдра, проходит через центр противоположной грани. Поворот на 120 или 240 градусов вокруг этой прямой принадлежит к числу симметрий тетраэдра. Так как у тетраэдра 4 вершины (и 4 грани), то мы получим всего 8 прямых симметрий. Любая прямая, проходящая через центр и середину ребра тетраэдра проходит через середину противоположного ребра. Поворот на 180 градусов (полуоборот) вокруг такой прямой также является симметрией. Так как у тетраэдра 3 пары ребер, мы получаем еще 3 прямые симметрии. Следовательно, общее число прямых симметрий, включая тождественное преобразование, доходит до 12. Можно показать, что других прямых симметрий не существует и что имеется 12 обратных симметрий. Таким образом, тетраэдр допускает всего 24 симметрии.

Прямые симметрии остальных правильных многогранников можно вычислить по формуле [(q - 1)N0 + N1 + (p - 1)N2]/2 + 1, где р-число сторон правильных многоугольников, являющихся гранями многогранника, q – число граней, примыкающих к каждой вершине, N0 – число вершин, N1 – число ребер и N2 – число граней каждого многогранника.

Гексаэдр и октаэдр имеют по 24 симметрии, а икосаэдр и додекаэдр– по 60 симметрий.

Все правильные многогранники имеют плоскости симметрии (у тетраэдра их - 6, у куба и октаэдра - по 9, у икосаэдра и додекаэдра - по 15).

2. 3. Звёздчатые многогранники.

Кроме правильных многогранников красивые формы имеют звёздчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 - 1630), а два других почти 200 лет спустя построил Л. Пуансо (1777 - 1859). Именно поэтому правильные звёздчатые многогранники называются телами Кеплера - Пуансо. Они получаются из правильных многогранников продолжением их граней или рёбер. Французский геометр Пуансо в 1810 году построил четыре правильных звёздчатых многогранника: малый звёздчатый додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр. У этих четырёх многогранников грани - пересекающиеся правильные многогранники, а у двух из них каждая из граней представляет собой самопересекающийся многоугольник. Но Пуансо не сумел доказать, что других правильных многогранников не существует.

Спустя год (в 1811г.) это сделал французский математик Огюстен Луи Коши (1789 - 1857). Он воспользовался тем, что согласно определению правильного многогранника, его можно наложить на самого себя так, что произвольная его грань совместится с наперёд выбранной. Из этого следует, что все грани звёздчатого многогранника равноудалены от некоторой точки-центра сферы, вписанной в многогранник.

Плоскости граней звёздчатого многогранника, пересекаясь, образуют ещё и правильный выпуклый многогранник, то есть платоново тело, описанное около той же сферы. Это платоново тело Коши назвал ядром данного звёздчатого многогранника. Тем самым звёздчатый многогранник можно получить, продолжая плоскости граней одного из платоновых тел.

Из тетраэдра, куба и октаэдра звёздчатые многогранники получить нельзя. Рассмотрим додекаэдр. Продолжение его рёбер приводит к замене каждой грани, звёздчатым правильным пятиугольником, а в результате получается малый звёздчатый додекаэдр.

На продолжении граней додекаэдра возможны следующие два случая: 1) если рассматривать правильные пятиугольники, то получается большой додекаэдр.

2) если же в качестве граней рассматривать звёздчатые пятиугольники, то получается большой звёздчатый додекаэдр.

Икосаэдр имеет одну звёздчатую форму. При продолжении грани правильного икосаэдра получается большой икосаэдр.

Таким образом, существует четыре типа правильных звёздчатых многогранников.

Звёздчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений.

Многие формы звёздчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки – это звёздчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Заключение

В работе раскрыты следующие темы: правильные многогранники, построение правильных многогранников, самосовмещение, движение и симметрии, звёздчатые многогранники и их свойства. Мы узнали, что существует всего лишь пять правильных многогранника и четыре звёздчатых правильных многогранника, которые нашли широкое применение в различных областях.

Изучение платоновых тел и связанных с ними фигур продолжается и поныне. И хотя основными мотивами современных исследований служат красота и симметрия, они имеют также и некоторое научное значение, особенно в кристаллографии. Кристаллы поваренной соли, тиоантимонида натрия и хромовых квасцов встречаются в природе в виде куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. Икосаэдр и додекаэдр среди кристаллических форм не встречаются, но их можно наблюдать среди форм микроскопических морских организмов, известных под названием радиолярий.

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Структура правильных многогранников очень удобна для изучения множества преобразований многогранника в себя (повороты, симметрии и т. д.). Получающиеся при этом группы преобразований (их называют группами симметрии) оказались весьма интересными с точки зрения теории конечных групп. Эта же симметричность позволила создать серию головоломок в виде правильных многогранников, начавшуюся «кубиком Рубиком» и «молдавской пирамидкой».

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.